【題目】在△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且acosC＝（2b﹣c）cosA.

（1）若3，求△ABC的面積；

（2）若∠B＜∠C，求2cos2B+cos2C的取值范圍.

【答案】（1）（2）（，）.

【解析】

（1）利用正弦定理可求角A，結合數(shù)量積3，可求△ABC的面積；

（2）結合角之間的關系，把2cos2B+cos2C化簡為，然后結合角的范圍可求.

（1）∵acosC＝（2b﹣c）cosA，

∴由正弦定理可得sinAcosC＝（2sinB﹣sinC）cosA，可得sinAcosC+sinCcosA＝sin（A+C）＝sinB＝2sinBcosA，

∵B為三角形內(nèi)角，sinB≠0，

∴cosA，

又∵A∈（0，π），

∴A，

∵bccosAbc＝3，可得bc＝6，

∴S△ABCbcsinA.

（2）∵∠B＜∠C，CB，可得B∈（0，），

∴2B∈（，），

∴cos（2B）∈（，），

∴2cos2B+cos2C＝1+cos2Bcos2Bcos2（B）cos2Bcos2Bsin2Bcos（2B）∈（，）.

∴2cos2B+cos2C的取值范圍（，）.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，已知點，，動點滿足直線與的斜率之積為.記點的軌跡為曲線.

(1)求的方程，并說明是什么曲線；

(2)若，是曲線上的動點，且直線過點，問在軸上是否存在定點，使得？若存在，請求出定點的坐標；若不存在，請說明理由.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某無縫鋼管廠只生產(chǎn)甲、乙兩種不同規(guī)格的鋼管，鋼管有內(nèi)外兩個口徑，甲種鋼管內(nèi)外兩口徑的標準長度分別為和，乙種鋼管內(nèi)外兩個口徑的標準長度分別為和.根據(jù)長期的生產(chǎn)結果表明，兩種規(guī)格鋼管每根的長度都服從正態(tài)分布，長度在之外的鋼管為廢品，要回爐熔化，不準流入市場，其他長度的鋼管為正品.

（1）在該鋼管廠生產(chǎn)的鋼管中隨機抽取10根進行檢測，求至少有1根為廢品的概率；

（2）監(jiān)管部門規(guī)定每種規(guī)格鋼管的“口徑誤差”的計算方式為：若鋼管的內(nèi)外兩個口徑實際長分別為，標準長分別為，則“口徑誤差”為，按行業(yè)生產(chǎn)標準，其中“一級品”“二級品”“合格品”的“口徑誤差”的范圍分別是（正品鋼管中沒有“口徑誤差”大于的鋼管），現(xiàn)分別從甲、乙兩種產(chǎn)品的正品中各隨機抽取100根，分別進行“口徑誤差”的檢測，統(tǒng)計后，繪制其頻率分布直方圖如圖所示：

　　　　甲種鋼管　　　　　　　　　　　　　　　乙種鋼管

已知經(jīng)銷商經(jīng)銷甲種鋼管，其中“一級品”的利潤率為0.3，“二級品”的利潤率為0.18，“合格品”的利潤率為0.1；經(jīng)銷乙種鋼管，其中“一級品”的利潤率為0.25，“二級品”的利潤率為0.15，“合格品”的利潤率為0.08，若視頻率為概率.

（�。┤艚�(jīng)銷商對甲、乙兩種鋼管各進了100萬元的貨，和分別表示經(jīng)銷甲、乙兩種鋼管所獲得的利潤，求和的數(shù)學期望和方差，并由此分析經(jīng)銷商經(jīng)銷兩種鋼管的利弊；

（ⅱ）若經(jīng)銷商計劃對甲、乙兩種鋼管總共進100萬元的貨，則分別在甲、乙兩種鋼管上進貨多少萬元時，可使得所獲利潤的方差和最��？

附：若隨機變量服從正態(tài)分布，則，，，.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某校要在一條水泥路邊安裝路燈，其中燈桿的設計如圖所示，AB為地面，CD，CE為路燈燈桿，CD⊥AB，∠DCE=，在E處安裝路燈，且路燈的照明張角∠MEN=.已知CD=4m，CE=2m.

(1)當M，D重合時，求路燈在路面的照明寬度MN；

(2)求此路燈在路面上的照明寬度MN的最小值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某高校健康社團為調(diào)查本校大學生每周運動的時長，隨機選取了80名學生，調(diào)查他們每周運動的總時長（單位：小時），按照共6組進行統(tǒng)計，得到男生、女生每周運動的時長的統(tǒng)計如下（表1、2），規(guī)定每周運動15小時以上（含15小時）的稱為“運動合格者”，其中每周運動25小時以上（含25小時）的稱為“運動達人”.

表1：男生

時長

人數(shù)

2

8

16

8

4

2

表2：女生

時長

人數(shù)

0

4

12

12

8

4

（1）從每周運動時長不小于20小時的男生中隨機選取2人，求選到“運動達人”的概率；

（2）根據(jù)題目條件，完成下面列聯(lián)表，并判斷能否有99%的把握認為本校大學生是否為“運動合格者”與性別有關.

每周運動的時長小于15小時

每周運動的時長不小于15小時

總計

男生

女生

總計

參考公式：，其中.

參考數(shù)據(jù)：

0.40

0.25

0.10

0.010

0.708

1.323

2.706

6.635

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，，平面，底面為正方形，且.若四棱錐的每個頂點都在球的球面上，則球的表面積的最小值為_____；當四棱錐的體積取得最大值時，二面角的正切值為_______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知橢圓的左、右焦點分別為，是橢圓上一動點（與左、右頂點不重合）已知的內(nèi)切圓半徑的最大值為，橢圓的離心率為.

（1）求橢圓C的方程；

（2）過的直線交橢圓于兩點，過作軸的垂線交橢圓與另一點（不與重合）.設的外心為，求證為定值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】為了研究不同性別在處理多任務時的表現(xiàn)差異，召集了男女志愿者各200名，要求他們同時完成多個任務，包括解題、讀地圖、接電話.下圖表示了志愿者完成任務所需的時間分布.以下結論，對志愿者完成任務所需的時間分布圖表理解正確的是（ ）

①總體看女性處理多任務平均用時更短；

②所有女性處理多任務的能力都要優(yōu)于男性；

③男性的時間分布更接近正態(tài)分布；

④女性處理多任務的用時為正數(shù)，男性處理多任務的用時為負數(shù).

A.①④B.②③C.①③D.②④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某少兒游泳隊需對隊員進行限時的仰臥起坐達標測試.已知隊員的測試分數(shù)與仰臥起坐

個數(shù)之間的關系如下：；測試規(guī)則：每位隊員最多進行三組測試，每組限時1分鐘，當一組測完，測試成績達到60分或以上時，就以此組測試成績作為該隊員的成績，無需再進行后續(xù)的測試，最多進行三組；根據(jù)以往的訓練統(tǒng)計，隊員“喵兒”在一分鐘內(nèi)限時測試的頻率分布直方圖如下：

（1）計算值；

（2）以此樣本的頻率作為概率，求

①在本次達標測試中，“喵兒”得分等于的概率；

②“喵兒”在本次達標測試中可能得分的分布列及數(shù)學期望.

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