Question

已知tan

α

2

=

1

2

，sin（α+β）=

5

13

，α，β∈（0，π），求cosβ．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：三角函數(shù)的求值

分析：由二倍角的正切公式和tan

α

2

=

1

2

求出tanα的值，利用α的范圍、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出sinα、cosα，并由三角函數(shù)值進(jìn)一步縮小“α+β”的范圍，由平方關(guān)系求出cos（α+β）的值，再由兩角差的余弦公式和“β=（α+β）-α”求出cosβ．

解答： 解：因?yàn)閠an

α

2

=

1

2

，所以tanα=

2tan α 2

1-tan2 α 2

=

2× 1 2

1- 1 4

=

4

3

＞0，
因?yàn)棣痢剩?，π），所以

sinα＞0 cosα＞0 sinα cosα = 4 3 sin2α+cos2α=1

，
解得sinα=

4

5

，cosα=

3

5

，
因?yàn)棣痢剩?，π），tanα=

4

3

∈（1，

3

），
所以

π

4

＜α＜

π

3

，
由β∈（0，π）得

π

4

＜α+β＜

4π

3

，
因?yàn)閟in（α+β）=

5

13

＜

1

2

，則

5π

6

＜α+β＜π，
所以cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

12

13

，
則cosβ=[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=-

12

13

×

3

5

+

5

13

×

4

5

=-

16

65

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二倍角的正切公式，兩角差的余弦公式，同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，三角函數(shù)值的符號(hào)，注意利用三角函數(shù)值進(jìn)一步確定角的范圍，以及利用角之間的關(guān)系，屬于中檔題．