Question

12．過點（-1，0）的直線l與圓C：x²+y²-4x=0交于A，B兩點，若△ABC為等邊三角形，則直線l的斜率為$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．

Answer 1

分析 設過點（-1，0）的直線l的方程為y=k（x+1），圓C：x²+y²-4x=0的圓心C（2，0），半徑r=2，圓心C（2，0）到直線l：y=k（x+1）的距離d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，由△ABC為等邊三角形，得|AB|=2，由此能求出直線l的斜率．

解答 解：當直線l的斜率不存在時，l的方程為x=-1，不成立
當直線l的斜率存在時，設過點（-1，0）的直線l的方程為y=k（x+1），
圓C：x²+y²-4x=0的圓心C（2，0），半徑r=2，
圓心C（2，0）到直線l：y=k（x+1）的距離d=$\frac{|3k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$，
∵直線l與圓C：x²+y²-4x=0交于A，B兩點，△ABC為等邊三角形，
∴|AB|=2$\sqrt{4-（\frac{|3k||}{\sqrt{{k}^{2}+1}}）^{2}}$=r=2，
解得k=$±\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故答案為：$±\frac{{\sqrt{2}}}{2}$．

點評 本題考查直線的斜率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質(zhì)、點到直線的距離公式的合理運用．