Question

1．在體積為$\frac{4}{3}$的三棱錐S-ABC中，AB=BC=2，∠ABC=90°，SA=SC，且平面SAC⊥平面ABC．若該三棱錐的四個頂點都在同一球面上，則該球的體積是（　　）

• A． $\frac{9}{2}π$
• B． $\frac{27}{2}π$
• C． 12π
• D． $\frac{8\sqrt{2}}{3}π$

Answer 1

分析 求出底面三角形的面積，利用三棱錐的體積求出S到底面的距離，求出底面三角形的所在平面圓的半徑，通過勾股定理求出球的半徑，即可求解球的體積．

解答 解：∵AB=BC=2，∠ABC=90°，
∴△ABC外接圓半徑$\frac{1}{2}$AC=$\sqrt{2}$，
∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$×2×2=2，三棱錐S-ABC的體積為$\frac{4}{3}$，
∴S到底面ABC的距離h=2，
∴球心O到平面ABC的距離為|2-R|，
由平面SAC⊥平面ABC，利用勾股定理可得球的半徑為：R²=（2-R）²+（$\sqrt{2}$）²，
∴R=$\frac{3}{2}$
球的體積：$\frac{4}{3}$πR³=$\frac{9}{2}$π．
故選：A．

點評 本題考查球的體積的求法，球的內(nèi)含體與三棱錐的關(guān)系，考查空間想象能力以及計算能力．