Question

16．已知直線l參數方程為$\left\{\begin{array}{l}x=\sqrt{3}+tcosθ\\ y=tsinθ\end{array}\right.（t為參數，0≤θ＜π）$，曲線C的極坐標方程為ρ²=$\frac{4}{1+{3sin}^{2}θ}$
（1）寫出曲線C的普通方程；
（2）若F₁為曲線C的左焦點，直線l與曲線C交于A，B兩點，求|F₁A|•|F₁B|最小值．

Answer 1

分析 （1）將曲線C轉化成4ρ²sin²θ+ρ²cos²θ=4，由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，即可求得曲線C的普通方程；
（2）由直線l過橢圓的右焦點，將直線l的方程代入橢圓方程，利用韋達定理及橢圓的定義，及正弦函數的性質即可求得|F₁A|•|F₁B|最小值．

解答 解：（1）由題意可知：ρ²（1+3sin²θ）=4，整理得：4ρ²sin²θ+ρ²cos²θ=4，
由$\left\{\begin{array}{l}{x=ρcosθ}\\{y=ρsinθ}\end{array}\right.$，則$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，
曲線C的普通方程$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$；
（2）由直線l過橢圓的右焦點F₂，則丨F₁A丨=4-丨F₂A丨，丨F₁B丨=4-丨F₂B丨，
將直線l的參數方程代入$\frac{{x}^{2}}{4}+{y}^{2}=1$，整理得：（1+3sin²θ）t²+2$\sqrt{3}$cosθt-1=0，
則t₁+t₂=-$\frac{2\sqrt{3}cosθ}{1+3si{n}^{2}θ}$，t₁t₂=-$\frac{1}{1+3si{n}^{2}θ}$，
則丨F₁A丨丨F₁B丨=（4-丨F₂A丨）（4-丨F₂B丨）=16-4（丨F₂A丨+丨F₂B丨）+丨F₂A丨丨F₂B丨，
=16-4丨t₁-t₂丨+丨t₁t₂丨=16-$\frac{15}{1+3si{n}^{2}θ}$≥1，
|F₁A|•|F₁B|最小值1．

點評 本題考查橢圓的參數方程，直線與橢圓的位置關系，考查橢圓的定義及韋達定理，考查計算能力，屬于中檔題．