Question

如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD上有一點(diǎn)P，沿著折線BCDA由B點(diǎn)（起點(diǎn)）向A點(diǎn)（終點(diǎn)）移動(dòng)，設(shè)P點(diǎn)移動(dòng)的路程為x，△ABP的面積為y=f（x）．
（1）求△ABP的面積與P移動(dòng)的路程間的函數(shù)關(guān)系式；
（2）作出函數(shù)的圖象，并根據(jù)圖象求y的最大值．

Answer 1

分析：（1）先求出定義域，然后根據(jù)點(diǎn)P的位置進(jìn)行分類討論，根據(jù)三角形的面積公式求出每一段△ABP的面積與P移動(dòng)的路程間的函數(shù)關(guān)系式，最后用分段函數(shù)進(jìn)行表示即可；
（2）根據(jù)每一段的函數(shù)解析式畫(huà)出每一段的函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)圖象即可求出函數(shù)的最大值．

解答：解：（1）由于x=0與x=12時(shí)，三點(diǎn)A、B、P不能構(gòu)成三角形，故這個(gè)函數(shù)的定義域?yàn)椋?，12）．
當(dāng)0＜x≤4時(shí)，S=f（x）=

1

2

•4•x=2x；
當(dāng)4＜x≤8時(shí)，S=f（x）=8；
當(dāng)8＜x＜12時(shí)，S=f（x）=

1

2

•4•（12-x）=2（12-x）=24-2x．
∴這個(gè)函數(shù)的解析式為
f（x）=

2x x∈(0，4] 8 x∈(4，8] 24-2x x∈(8，12).

（2）其圖形為右上圖，由圖知，[f（x）]_max=8．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了函數(shù)解析式的求解，以及分段函數(shù)的圖象等有關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．