如圖為函數(shù)f（x）=
x
x2+1
的部分圖象，ABCD是矩形，A、B在圖象上，將此矩形（AB邊在第一象限）繞x軸旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值為
 
．
考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用
專題：綜合題,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用
分析：求導(dǎo)數(shù)，求出AB=|xA-xB|，可得旋轉(zhuǎn)體的體積，即可求出旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值．
解答： 解：由題意f/(x)=
-(x+1)(x-1)
(x2+1)2
=0得x=1為極大值點(diǎn)，且f(1)=
1
2
，
設(shè)A、B的縱坐標(biāo)為k(0＜k＜
1
2
)，則由
x
x2+1
=k得kx2-x+k=0，xA+xB=
1
k
，xA•xB=1，
所以AB=|xA-xB|=
(xA+xB)2-4xA•xB
=
1
k2
-4
，
所以V=πk2•
1
k2
-4
=π
k2-4k4
=2π
-(k2-
1
8
)2+
1
64
≤
π
4
，
當(dāng)且僅當(dāng)k=
2
4
時(shí)取“=”，此時(shí)△＞0，故旋轉(zhuǎn)體體積的最大值為
π
4
．
故答案為：
π
4
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查旋轉(zhuǎn)體的體積的最大值，考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，正確求旋轉(zhuǎn)體的體積是關(guān)鍵．
練習(xí)冊(cè)系列答案
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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別為DD1，BD的中點(diǎn)．求證：
（1）求直線AE與平面BDD1B1所成角的正弦值；
（2）EF⊥B1C．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知sinα=0.8，且
π
2
＜α＜π，求角α的其他三角函數(shù)值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若方程
x2
k-3
+
y2
k+3
=1表示焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

公共汽車在8：00到8：20內(nèi)隨機(jī)地到達(dá)某站，某人8：15到達(dá)該站，則他能等到公共汽車的概率為
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

扣人心弦的巴西世界足球杯已落下了帷幕，為了解市民對(duì)該屆世界杯的關(guān)注情況，某市足球協(xié)會(huì)針對(duì)該市市民組織了一次隨機(jī)調(diào)查，所抽取的樣本容量為120，調(diào)查結(jié)果如下：
收視情況看直播看轉(zhuǎn)播不看
人數(shù)（單位：人）604020
（1）若從這120人中按照分層抽樣的方法隨機(jī)抽取6人進(jìn)行座談，再?gòu)倪@6人中隨機(jī)抽取3人頒發(fā)幸運(yùn)禮品，求這3人中至少有1人為“看直播”的概率；
（2）現(xiàn)從（1）所抽取的6人的問(wèn)卷中抽3份，記“看直播”的問(wèn)卷分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

若橢圓的中心在原點(diǎn)，一個(gè)焦點(diǎn)為（0，2），直線y=3x+7與橢圓相交所得弦的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，則這個(gè)橢圓的方程為（　　）
A、
x2
12
+
y2
20
=1
B、
x2
4
+
y2
12
=1
C、
x2
12
+
y2
8
=1
D、
x2
8
+
y2
12
=1

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知雙曲線C：x2-
y2
3
=1，直線l：y=mx-m+
3
（m∈R），直線l與雙曲線C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，則m的所有取值個(gè)數(shù)是（　　）
A、1B、2C、3D、4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=cos2x+sinx，x∈[-
π
4
，
π
4
]的值域．

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同步練習(xí)冊(cè)答案