3.若直角△ABC內接于單位圓O,M是圓O內的一點,若|$\overrightarrow{OM}$|=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,則|$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$|的最大值是(  )
A.$\sqrt{2}$+1B.$\sqrt{2}$+2C.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+1D.$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+2

分析 由直角三角形可知O為斜邊AC的中點,于是$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$=2$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{MB}$=3$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OB}$,所以當$\overrightarrow{MO}$和$\overrightarrow{OB}$同向時,模長最大.

解答 解:設直角三角形的斜邊為AC,∵直角△ABC內接于單位圓O,
∴O是AC的中點,
∴|$\overrightarrow{MA}$+$\overrightarrow{MB}$+$\overrightarrow{MC}$|=|2$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{MB}$|=|3$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OB}$|,
∴當$\overrightarrow{MO}$和$\overrightarrow{OB}$同向時,|3$\overrightarrow{MO}$+$\overrightarrow{OB}$|取得最大值|3$\overrightarrow{MO}$|+|$\overrightarrow{OB}$|=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$+1.
故選:C.

點評 本題考查了平面向量線性運算的幾何意義,屬于中檔題.

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