Question

【題目】三棱錐中，點(diǎn)P是斜邊AB上一點(diǎn)．給出下列四個(gè)命題：

①若平面ABC，則三棱錐的四個(gè)面都是直角三角形；

②若S在平面ABC上的射影是斜邊AB的中點(diǎn)P，則有；

③若，，，平面ABC，則面積的最小值為3；

④若，，，平面ABC，則三棱錐的外接球體積為．

其中正確命題的序號(hào)是__________．(把你認(rèn)為正確命題的序號(hào)都填上)

Answer 1

【答案】①②④.

【解析】

由平面，所以，，從而得到四個(gè)面都是直角三角形; 連接,當(dāng)平面時(shí)，得到，從而得到；當(dāng)平面時(shí)，. 時(shí)，取得最小值，由此求出的最小值是;

三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球,，，即可求出體積.

對(duì)于①，因?yàn)?/span>平面，所以，，，又，∴平面，所以，故四個(gè)面都是直角三角形，∴①正確；

對(duì)于②，由在平面上的射影是斜邊的中點(diǎn)，可得平面，連接，有，，，因?yàn)?/span>P是斜邊AB的中點(diǎn)，所以，故，∴②正確；

對(duì)于③，當(dāng)平面時(shí)，.當(dāng)時(shí)，取得最小值，由等面積可得此時(shí)長度為，所以的最小值是；∴③不正確；

對(duì)于④，若，平面，∴三棱錐的外接球可以看作棱長為4的正方體的外接球，∴，，∴體積為，

④正確，故答案為①②④．