Question

【題目】如圖，直線與橢圓交于兩點(diǎn)，是橢圓右頂點(diǎn)，已知直線的斜率為，的外接圓半徑為.

(1)求橢圓的方程；

(2)若橢圓上有兩點(diǎn)，使的平分線垂直，且，求直線的方程.

Answer 1

【答案】(1)；(2)或.

【解析】

(1)設(shè)，，根據(jù)直線的斜率為，可得，再利用，即可得是直角三角形，從而可求出的長(zhǎng)，再結(jié)合，可求出的長(zhǎng)，進(jìn)而求出及點(diǎn)的坐標(biāo)，將的坐標(biāo)代入橢圓的方程即可求出；

(2) 由(1)知，由的平分線垂直知直線與關(guān)于對(duì)稱，因此可設(shè)的斜率為，則的斜率為，將直線分別與橢圓聯(lián)立方程組，利用兩根之積，求出的坐標(biāo)，從而可求出直線的斜率，再利用弦長(zhǎng)公式求出即可求出，進(jìn)而求出直線的方程.

(1)連結(jié)，設(shè)，，所以直線的斜率，所以，

所以，由橢圓的對(duì)稱性可知，所以，

所以，所以，所以是直角三角形，

故的外接圓半徑，所以，

因?yàn)橹本�的方程為，所以直線的傾斜角，

所以，所以在中，，所以，

所以，所以，代入橢圓的方程可得，

所以，故橢圓方程為.

(2)由(1)知，由的平分線垂直知直線與關(guān)于對(duì)稱，

設(shè)的斜率為，則的斜率為，，

與橢圓聯(lián)立得，

所以，又，所以，

所以

所以，同理得，

所以，

由弦長(zhǎng)公式得，解得或

不妨設(shè)在的左側(cè)，

當(dāng)時(shí)，，；

當(dāng)時(shí)，，.

綜上所述，或.