Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+2alnx+（a+2）x，a∈R
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）是否存在實(shí)數(shù)a，對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞a恒成立？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）求導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的零點(diǎn)，再進(jìn)行分類討論，從而可確定函數(shù)y=f（x）的單調(diào)性與單調(diào)區(qū)間．
（2）對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞a恒成立，得到f′（x）=$\frac{2a}{x}$+（2+a）+x＞a，在（0，1）恒成立，由此可求a的取值范圍．

解答 解：（1）由題意得，f′（x）=$\frac{2a}{x}$+（2+a）+x=$\frac{（x+2）（x+a）}{x}$（x＞0），
由f′（x）=0，x₂=-a，x=-2（舍去）
①當(dāng)a≥0時(shí)，f′（x）＞0，恒成立，故f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增，
②當(dāng)a＜0時(shí)，f′（x）＞0，又x＞0，可得x＞-a，令f′（x）＜0，可得0＜x＜-a，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（-a，+∞），單調(diào)減區(qū)間是（0，-a）；
（2）∵對(duì)任意的x₁，x₂∈（0，1）且x₁≠x₂，有$\frac{{f（{x_2}）-f（{x_1}）}}{{{x_2}-{x_1}}}$＞a恒成立
∴f′（x）=$\frac{2a}{x}$+（2+a）+x＞a，在（0，1）恒成立，
∴2a＞-x²-2x=-（x+1）²+1，
設(shè)g（x）=-（x+1）²+1，x∈（0，1），
∴g（x）在（0，1）上單調(diào)遞減，
∴g（x）＜g（0）=0
∴2a≥0，
∴a≥0，
故a的取值范圍為[0，+∞）

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)知識(shí)的運(yùn)用，考查函數(shù)的單調(diào)性與最值，考查恒成立問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．