Question

2．對任意|m|≤2，不等式x²+mx+1＞2x+m恒成立，則x的取值范圍為（　�。�

• A． x＞3或x＜-1
• B． x＞3
• C． x＜-1
• D． -1＜x＜3

Answer 1

分析 問題化為函數(shù)f（m）=m（x-1）+x²-2x+1在m∈[-2，2]時滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，求出解集即可．

解答 解：∵|m|≤2，∴-2≤m≤2；
不等式x²+mx+1＞2x+m恒成立，
化為m（x-1）+x²-2x+1＞0恒成立；
設f（m）=m（x-1）+x²-2x+1，
則f（m）在m∈[-2，2]時滿足$\left\{\begin{array}{l}{f（-2）＞0}\\{f（2）＞0}\end{array}\right.$，
即$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-4x+3＞0}\\{{x}^{2}-1＞0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x＜1或x＞3}\\{x＜-1或x＞1}\end{array}\right.$，
即x＜-1或x＞3，
∴x的取值范圍是x＜-1或x＞3．
故選：A．

點評 解不等式恒成立問題，通常借助于函數(shù)思想或方程思想轉化為求函數(shù)的最值或利用函數(shù)的圖象或判別式的方法求解，是基礎題．