【題目】如圖,四棱錐中,底面是直角梯形,,,,側(cè)面底面,且是以為底的等腰三角形.
(Ⅰ)證明:
(Ⅱ)若四棱錐的體積等于.問:是否存在過點的平面分別交,于點,使得平面平面?若存在,求出的面積;若不存在,請說明理由.
【答案】(Ⅰ)見解析;(Ⅱ).
【解析】試題分析: (Ⅰ)取的中,連接 ,由三角形是等腰三角形,則 ,又 ,可得 ,從而證出 ,可得 ; (Ⅱ)取 中點 ,連接 ,可證明四邊形為平行四邊形,進一步證明 ,可得三角形是直角三角形,由三角形面積公式可得面積.
試題解析:(Ⅰ)證明:取的中點,連接,
∵,
∴.
∵且,
∴是正三角形,且,
又∵,平面
∴平面,且平面
∴
(Ⅱ)解:存在,理由如下:
分別取的中點,連接,則;
∵是梯形,且,
∴且,則四邊形為平行四邊形,
∴
又∵平面,平面
∴平面,平面且平面,
∴平面平面
∵側(cè)面,且平面平面
由(Ⅰ)知,平面,若四棱錐的體積等于,
則,所以
在和中,
∴,則
∴是直角三角形,則.
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【題目】選修:不等式選講
已知函數(shù)f(x)=|2x+3|+|2x﹣1|.
(Ⅰ)求不等式f(x)<8的解集;
(Ⅱ)若關(guān)于x的不等式f(x)≤|3m+1|有解,求實數(shù)m的取值范圍.
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【題目】某企業(yè)生產(chǎn)A,B兩種產(chǎn)品,根據(jù)市場調(diào)查與市場預(yù)測,知A產(chǎn)品的利潤與投資成正比,其關(guān)系如圖1,B產(chǎn)品的利潤與投資的算術(shù)平方根成正比,其關(guān)系如圖2.(注:所示圖中的橫坐標(biāo)表示投資金額,單位:萬元)
圖1 圖2
(1)分別將A,B兩種產(chǎn)品的利潤表示為投資的函數(shù)關(guān)系式;
(2)該企業(yè)已籌集10萬元資金,并全部投入A,B兩種產(chǎn)品的生產(chǎn),問:怎樣分配這10萬元資金,才能使企業(yè)獲得最大利潤,最大利潤為多少萬元?
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【題目】心理學(xué)家分析發(fā)現(xiàn)“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān),某數(shù)學(xué)興趣小組為了驗證此結(jié)論,從全體組員中按分層抽樣的方法抽取50名同學(xué)(男生30人、女生20人),給每位同學(xué)立體幾何題、代數(shù)題各一道,讓各位同學(xué)自由選擇一道題進行解答,選題情況統(tǒng)計如下表:(單位:人)
立體幾何題 | 代數(shù)題 | 總計 | |
男同學(xué) | 22 | 8 | 30 |
女同學(xué) | 8 | 12 | 20 |
總計 | 30 | 20 | 50 |
(1)能否有97.5%以上的把握認(rèn)為“喜歡空間想象”與“性別”有關(guān)?
(2)經(jīng)統(tǒng)計得,選擇做立體幾何題的學(xué)生正答率為,且答對的學(xué)生中男生人數(shù)是女生人數(shù)的5倍,現(xiàn)從選擇做立體幾何題且答錯的學(xué)生中任意抽取兩人對他們的答題情況進行研究,求恰好抽到男女生各一人的概率.
附表及公式:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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【題目】某地政府決定建造一批保障房供給社會,緩解貧困人口的住房問題,計劃用1 600萬元購得一塊土地,在該土地上建造10幢樓房的住宅小區(qū),每幢樓的樓層數(shù)相同,且每層建筑面積均為1 000平方米,每平方米的建筑費用與樓層有關(guān),第x層樓房每平方米的建筑費用為(kx+800)元(其中k為常數(shù)).經(jīng)測算,若每幢樓為5層,則該小區(qū)每平方米的平均綜合費用為1 270元.
注:每平方米平均綜合費用=.
(1) 求k的值;
(2) 問要使該小區(qū)樓房每平方米的平均綜合費用最低,應(yīng)將這10幢樓房建成多少層?此時每平方米的平均綜合費用為多少元?
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【題目】某電腦公司在甲、乙兩地各有一個分公司,甲分公司現(xiàn)有電腦6臺,乙分公司現(xiàn)有同一型號的電腦12臺.現(xiàn)A地某單位向該公司購買該型號的電腦10臺,B地某單位向該公司購買該型號的電腦8臺.已知從甲地運往A,B兩地每臺電腦的運費分別是40元和30元,從乙地運往A,B兩地每臺電腦的運費分別是80元和50元. 若總運費不超過1000元,則調(diào)運方案的種數(shù)為
A.1 B.2
C.3 D.4
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【題目】某醫(yī)藥研究所開發(fā)的一種藥,如果成年人按規(guī)定的劑量服用,據(jù)監(jiān)測,服藥后每毫升中的含藥量(微克)與時間(小時)之間近似滿足如圖所示的曲線.(當(dāng)時, ).
(1)寫出第一次服藥后與之間的函數(shù)關(guān)系式;
(2)據(jù)進一步測定,每毫升血液中含藥量不少于微克時,治療疾病有效,求服藥一次后治療疾病有效時間.
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【題目】下面給出四種說法:
①用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸效果,R2越小,說明模型的擬合效果越好;
②命題P:“x0∈R,x02﹣x0﹣1>0”的否定是¬P:“x∈R,x2﹣x﹣1≤0”;
③設(shè)隨機變量X服從正態(tài)分布N(0,1),若P(x>1)=p則P(﹣1<X<0)= ﹣p
④回歸直線一定過樣本點的中心( ).
其中正確的說法有( )
A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④
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