Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2alnx（a∈R）
（Ⅰ）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)g（x）=f（x）+

2

x

在[1，2]上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）由f′（x）=2x-

2a

x

=

2x-2a

x

，討論當(dāng)a≤0時(shí)，當(dāng)a＞0時(shí)的情況從而綜合得出結(jié)論；
（Ⅱ）g（x）=x²-2lnx+

2

x

，g′（x）=2x-

2a

x

-

2

x2

，由g′（x）≤0在x∈[1，2]上恒成立，得a≥x²-

1

x

在[1，2]上恒成立，從而得出h（x）_max=

7

2

，進(jìn)而求出a的范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=2x-

2a

x

=

2x2-2a

x

，
當(dāng)a≤0時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)；
當(dāng)a＞0時(shí)，令f′（x）＞0得x＞

a

，∴f（x）在（

a

，+∞）上為增函數(shù)；
令f′（x）＜0得0＜x＜

a

，∴f（x）在（0，

a

）上為減函數(shù)，
綜上：當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（0，+∞），無減區(qū)間；
當(dāng)a＞0時(shí)，f（x）的增區(qū)間為（

a

，+∞），減區(qū)間為（0，

a

）；
（Ⅱ）g（x）=x²-2lnx+

2

x

，g′（x）=2x-

2a

x

-

2

x2

，
g（x）在[1，2]上遞減，
∴g′（x）≤0在x∈[1，2]上恒成立，
即2x-

2a

x

-

2

x2

≤0在[1，2]上恒成立，
∴a≥x²-

1

x

在[1，2]上恒成立，
設(shè)h（x）=x²-

1

x

，顯然h（x）在[1，2]上遞增，
∴h（x）_max=

7

2

，
∴a≥

7

2

．

點(diǎn)評：本題考察了函數(shù)的單調(diào)性，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求參數(shù)的范圍，是一道綜合題．