Question

4．在如圖所示四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD是正方式，PA=AB=1，E是PD上的點，PB∥平面AEC，
（Ⅰ）確定點E的位置并證明AE⊥PC
（Ⅱ）求三棱錐P-AEC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接BD交AC于O點，連接EO，利用線面平行的性質，可得點E的位置；利用直線與平面垂直的判定，證明AE⊥PC
（Ⅱ）利用體積公式求三棱錐P-AEC的體積．

解答 解：（Ⅰ）連接BD交AC于O點，連接EO，
因為PB∥平面AEC，平面PBD∩平面ACE=OE，
所以EO∥PB，
因為O為BD中點，
所以E為PD中點；
因為E為PD的中點，PA=AB=AD，
所以AE⊥PD，
因為PA⊥底面ABCD，
所以PA⊥CD，
因為CD⊥AD∩AD=A，
所以CD⊥平面PAD，
所以AE⊥平面PCD，
所以AE⊥PC
（Ⅱ）三棱錐P-AEC的體積=$\frac{1}{2}$V_P-ACD=$\frac{1}{4}{V}_{P-ABCD}$=$\frac{1}{4}×\frac{1}{3}×PA×AB×AD$=$\frac{1}{12}$．

點評 本題考查直線與平面平行的性質，直線與平面垂直的判定，考查三棱錐P-AEC的體積，考查學生的邏輯思維能力，是中檔題．