Question

20．已知F₁為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{14}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的左焦點，直線l過原點且與雙曲線C相交于P、Q兩點，若$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，則△PF₁Q的周長為22．

Answer 1

分析 確定以PQ為直徑的圓經(jīng)過F₁，可得|PQ|=2c=10，設(shè)F₂為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{14}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的右焦點，則根據(jù)雙曲線的對稱性，可得|PF₁|=|QF₂|，利用雙曲線的定義，結(jié)合勾股定理，即可得出結(jié)論．

解答 解：由題意，直線l過原點且與雙曲線C相交于P，Q兩點，$\overrightarrow{P{F}_{1}}$•$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=0，
∴PF₁⊥PF₂，
∴|OP|=c，
∴|PQ|=2c=10，
設(shè)F₂為雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{14}$-$\frac{{y}^{2}}{11}$=1的右焦點，則根據(jù)雙曲線的對稱性，可得|PF₁|=|QF₂|，
∴|QF₁|-|PF₁|=2$\sqrt{14}$，
∵|QF₁|²+|PF₁|²=100，
∴2|QF₁||PF₁|=44，
∴（|QF₁|+|PF₁|）²=144，
∴|QF₁|+|PF₁|=12，
∴△PF₁Q的周長等于22，
故答案為：22．

點評 本題考查雙曲線的性質(zhì)，考查向量知識的運用，考查學生分析解決問題的能力，正確運用雙曲線的定義是關(guān)鍵．