Question

9．已知數(shù)列{a_n}中，a₁=1，a_n+1=$\frac{2n-1}{2n+1}$a_n（n∈N），則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式是${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．

Answer 1

分析 把原數(shù)列遞推式變形，然后利用累乘法求得數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

解答 解：由a_n+1=$\frac{2n-1}{2n+1}$a_n，得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}=\frac{2n-1}{2n+1}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}$，$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}=\frac{3}{5}$，$\frac{{a}_{4}}{{a}_{3}}=\frac{5}{7}$，…，$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}=\frac{2n-3}{2n-1}$．
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}=\frac{1}{3}×\frac{3}{5}×\frac{5}{7}×…×\frac{2n-3}{2n-1}=\frac{1}{2n-1}$，
又a₁=1，
∴${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．
故答案為：${a}_{n}=\frac{1}{2n-1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式，是中檔題．