Question

【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b為實(shí)數(shù)),設(shè)，

(1)若f(-1)=0,且對(duì)任意實(shí)數(shù)x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表達(dá)式;

(2)在(1)的條件下,當(dāng)x∈[-2,2]時(shí),g(x)=f(x)-kx是單調(diào)函數(shù),求實(shí)數(shù)k的取值范圍;

(3)設(shè)mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)滿足f(-x)=f(x),試比較F(m)+F(n)的值與0的大小.

Answer 1

【答案】(1).(2).(3) F(m)+F(n)>0.

【解析】

（1）由可得；然后再根據(jù)f(x)≥0恒成立并結(jié)合判別式可得a=1，進(jìn)而可得函數(shù)的解析式．（2）由題意可得，根據(jù)函數(shù)有單調(diào)性可得對(duì)稱軸與所給區(qū)間的關(guān)系，從而可得k的取值范圍．（3）結(jié)合題意可得函數(shù)為奇函數(shù)且在R上為增函數(shù)，再根據(jù)條件mn<0,m+n>0可得F(m)+F(n)>0．

(1)∵，

∴b=a+1.

∵f(x)≥0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，

∴，

解得a=1．

∴f(x)=x2+2x+1.

故．

(2)由(1)知f(x)=x2+2x+1，

∴g(x)=f(x)-kx=x2+(2-k)x+1．

由g(x)在區(qū)間[-2,2]上是單調(diào)函數(shù)可得或，

解得k≤-2或k≥6．

故k的取值范圍為．

(3)∵f(-x)=f(x)，

∴f(x)為偶函數(shù)，

∴b=0．

又a>0,

∴f(x)在區(qū)間[0,+∞)為增函數(shù)．

對(duì)于F(x),當(dāng)x>0時(shí)，；

當(dāng)x<0時(shí),，

∴,且F(x)在區(qū)間[0,+∞)上為增函數(shù)，

∴在上為增函數(shù)．

由mn<0,知m,n異號(hào),不妨設(shè)m>0,n<0,

則有m>-n>0，

∴，

∴．