【題目】已知向量 =( sin3x,﹣y), =(m,cos3x﹣m)(m∈R),且 + = .設y=f(x).
(1)求f(x)的表達式,并求函數(shù)f(x)在[ , ]上圖象最低點M的坐標.
(2)在△ABC中,f(A)=﹣ ,且A> π,D為邊BC上一點,AC= DC,BD=2DC,且AD=2 ,求線段DC的長.
【答案】
(1)解:向量 =( sin3x,﹣y), =(m,cos3x﹣m)(m∈R),
∴ + =(m+ sin3x,﹣y+cos3x﹣m),
∵ + = .
m+ sin3x=0,﹣y+cos3x﹣m=0
∴y=cos3x+ sin3x
即y=f(x)=2sin(3x+ )
∴f(x)的表達式f(x)=2sin(3x+ )
∵x在[ , ]上,
∴3x+ ∈[ , ],
當3x+ = 時,取得最低點,此時x= ,y=﹣1.
∴函數(shù)f(x)在[ , ]上圖象最低點M的坐標為( ,﹣1).
(2)解:由f(A)=﹣ ,即2sin(3A+ )=
可得:3A+ = +2kπ或3A+ = +2kπ,k∈Z.
∵π>A> π,
∴A= .
∴△ABC是直角三角形.
AC= DC,BD=2DC,
設DC=x,則AC= x,BD=2x,BC=3x.
可得:AB= .
在三角形ADB和三角形ADC中,由余弦定理:可得cos∠BDA=
cos∠ADC= ,
∵∠ADC+∠BDA=π.
∴ =﹣ ,
解得:x= .
∴線段DC的長為 .
【解析】(1)根據 + = .用x表示y可得f(x)的表達式.即可求函數(shù)f(x)在[ , ]上圖象最低點M的坐標.(2)根據f(A)=﹣ ,且A> π,求出A,AC= DC,BD=2DC,且AD=2 ,利用余弦定理求出線段DC的長.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】如圖,三棱錐A-BCD中,AB⊥平面BCD,CD⊥BD .
(1)求證:CD⊥平面ABD;
(2)若AB=BD=CD=1,M為AD中點,求三棱錐A-MBC的體積.
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【題目】已知橢圓C:的離心率為,且拋物線的準線恰好過橢圓的一個焦點。
(1)求橢圓C的方程;
(2)過點的直線與橢圓交于兩點,求面積的最大值。
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【題目】下列說法正確的是( )
A.命題“若x2=9,則x=±3”的否命題為“若x2=9,則x≠±3”
B.若命題P:?x0∈R, ,則命題?P:?x∈R,
C.設 是兩個非零向量,則“ 是“ 夾角為鈍角”的必要不充分條件
D.若命題P: ,則¬P:
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【題目】如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.
(1)求證:AC⊥平面BDE;
(2)設點M是線段BD上一個動點,試確定點M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結論.
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【題目】已知橢圓過點,離心率為.
(1)求橢圓的標準方程;
(2)過橢圓的上頂點作直線交拋物線于兩點, 為原點.
①求證: ;
②設、分別與橢圓相交于、兩點,過原點作直線的垂線,垂足為,證明: 為定值.
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【題目】已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+1(a,b為實數(shù)),設,
(1)若f(-1)=0,且對任意實數(shù)x均有f(x)≥0成立,求F(x)的表達式;
(2)在(1)的條件下,當x∈[-2,2]時,g(x)=f(x)-kx是單調函數(shù),求實數(shù)k的取值范圍;
(3)設mn<0,m+n>0,a>0,且f(x)滿足f(-x)=f(x),試比較F(m)+F(n)的值與0的大小.
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【題目】如圖,在梯形ABCD中,AB∥C,AD=DC=CB=1,∠ABC═60°,四邊形ACFE為矩形,平面ACFE⊥平面ABCD,CF=1.
(1)求證:BC⊥平面ACFE;
(2)求二面角A﹣BF﹣C的平面角的余弦值;
(3)若點M在線段EF上運動,設平MAB與平FCB所成二面角的平面角為θ(θ≤90°),試求cosθ的取值范圍.
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