Question

①若f′（x）=1，則f（x）=x+C1，
②若f″（x）=[f′（x）]′=1，則f（x）=

1

2

x2+C2x+C1，
③若f（3）（x）=[f″（x）]′=1，則f（x）=

1

6

x3+C3x2+C2x+C1，
④若f（4）（x）=[f（3）（x）]′=1，則f（x）=

1

24

x4+C4x3+C3x2+C2x+C1，
由以上結(jié)論，推測出一般的結(jié)論：
若f（n）（x）=[f（n-1）（x）]′=1，則f（x）=

1

n!

xⁿ+…+C₄x³+C₃x²+C₂x+C₁

．

Answer 1

分析：由已知中的結(jié)論：①若f′（x）=1，則f（x）=x+C₁，②若f″（x）=[f′（x）]′=1，則f（x）=

1

2

x²+C₂x+C₁…，我們易得到等式右邊是關(guān)于x的降冪排列，首項的次數(shù)是n，系數(shù)為

1

1×2×3×…×n

，由此不難歸納出答案．

解答：解：由已知中等式：
①若f′（x）=1，則f（x）=x+C₁，
②若f″（x）=[f′（x）]′=1，則f（x）=

1

2

x²+C₂x+C₁…，
③若f（3）（x）=[f″（x）]′=1，則f（x）=

1

6

x³+C₃x²+C₂x+C₁．
…
我們易得到等式右邊是關(guān)于x的降冪排列，首項的次數(shù)是n，系數(shù)為

1

1×2×3×…×n

即

1

n!

，
由此我們可以推論出一個一般的結(jié)論：對于n∈N^*，
f（x）=

1

n!

xⁿ+…+C₄x³+C₃x²+C₂x+C₁
故答案為：

1

n!

xⁿ+…+C₄x³+C₃x²+C₂x+C₁．

點(diǎn)評：本題考查的知識點(diǎn)是歸納推理，歸納推理的一般步驟是：（1）通過觀察個別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個明確表達(dá)的一般性命題（猜想）．