【題目】將 顆珠子分成 堆.若通過每次從其中 堆中各取走一顆珠子，而最后取完，則稱這樣的分法為“和諧的”.試給出和諧分法的充分必要條件，并加以證明.

【答案】見解析

【解析】

分法為和諧的充分必要條件是最多一堆珠子的顆數(shù)不超過.

下面設(shè)堆珠子的顆數(shù)分別為 ，且.

首先，用反證法證明必要性.

若分法是和諧的,則把 所對應(yīng)的珠子取完至少要次，這次每次均要取走 顆珠子.如果，即，把所對應(yīng)的一堆取完時,需取走的珠子顆數(shù)大于珠子的總數(shù),而這是不可能的.因此，最多一堆珠子的顆數(shù)不能超過.

其次,用數(shù)學(xué)歸納法證明充分性.

當(dāng)時，滿足的分法只能是 .顯然，這樣的分法是和諧的.

假設(shè)時，滿足的分法是和諧的.

當(dāng)時，滿足，且分法是不和諧的，

則分法也是不和諧的.

由歸納假設(shè)及必要性的證明知.

因為，

所以，.

若，則.

故，這是不可能的.

因此，當(dāng)時，滿足分法也是和諧的.

練習(xí)冊系列答案
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【題目】某工廠生產(chǎn)了一批高精尖的儀器，為確保儀器的可靠性，工廠安排了一批專家檢測儀器的可靠性，毎臺儀器被毎位專家評議為“可靠”的概率均為，且每臺儀器是否可靠相互獨立．

（1）當(dāng)，現(xiàn)抽取4臺儀器，安排一位專家進行檢測，記檢測結(jié)果可靠的儀器臺數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望；

（2）為進一步提高出廠儀器的可靠性，工廠決定每臺儀器都由三位專家進行檢測，只有三位專家都檢驗儀器可靠，則儀器通過檢測．若三位專家檢測結(jié)果都為不可靠，則儀器報廢．其余情況，儀器需要回廠返修．?dāng)M定每臺儀器檢測費用為100元，若回廠返修，每臺儀器還需要額外花費300元的維修費．現(xiàn)以此方案實施，且抽檢儀器為100臺，工廠預(yù)算3.3萬元用于檢測和維修，問費用是否有可能會超過預(yù)算？并說明理由．

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【題目】針對2019年“雙十—”網(wǎng)上購物消費情況，規(guī)定：雙十一當(dāng)天購物消費金額不低于600元的網(wǎng)購者為“剁手黨”，低于600元的網(wǎng)購者為“理智消費者”.某興趣小組對雙十一當(dāng)天網(wǎng)購者隨機抽取了100名進行抽樣分析，得到如下統(tǒng)計圖表(單位：人)：

女性

男性

總計

剁手黨

50

5

55

理智購物者

30

15

45

總計

80

20

100

（1）根據(jù)以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)回答能否在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認為“剁手黨”與性別有關(guān)？

（2）現(xiàn)從抽取的80名女性網(wǎng)購者中按照分層抽樣的方法選出8人，然后從選出8人中隨機選出3人進行調(diào)查，選出的剁手黨人數(shù)為2時的概率.

0.10

0.05

0.025

0.010

0.005

2.706

3.841

5.024

6.635

7.879

參考公式：，其中.

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【題目】關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）

A.是的極大值點

B.函數(shù)有且只有1個零點

C.存在正實數(shù)，使得成立

D.對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則.

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【題目】把邊長為6的等邊三角形鐵皮剪去三個相同的四邊形（如圖陰影部分）后,用剩余部分做成一個無蓋的正三棱柱形容器(不計接縫)，設(shè)容器的高為,容積為．

（1）寫出函數(shù)的解析式，并求出函數(shù)的定義域；

（2）求當(dāng)為多少時，容器的容積最大？并求出最大容積.

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【題目】某環(huán)線地鐵按內(nèi)、外線同時運行，內(nèi)、外環(huán)線的長均為30千米（忽略內(nèi)、外環(huán)線長度差異），新調(diào)整的方案要求內(nèi)環(huán)線列車平均速度為20千米/小時，外環(huán)線列車平均速度為30千米/小時，現(xiàn)內(nèi)、外環(huán)線共有18列列車全部投入運行，其中內(nèi)環(huán)投入列列車.

（1）寫出內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時間（分鐘）分別關(guān)于的函數(shù)解析式；

（2）要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時問之差距不超過1分鐘，問內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運行？

（3）要使內(nèi)、外環(huán)線乘客的最長候車時間之和最小，問內(nèi)、外環(huán)線應(yīng)各投入幾列列車運行？

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（1）用“五點法”作出函數(shù)在一個周期內(nèi)的圖象；

（2）寫出的單調(diào)區(qū)間；

（3）寫出在區(qū)間上的最大值和最小值.

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