Question

【題目】關(guān)于函數(shù)，下列判斷正確的是（ ）

A.是的極大值點

B.函數(shù)有且只有1個零點

C.存在正實數(shù)，使得成立

D.對任意兩個正實數(shù)，，且，若，則.

Answer 1

【答案】BD

【解析】

A.求函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)極值的定義進行判斷

B.求函數(shù)的導數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性和零點個數(shù)進行判斷即可

C.利用參數(shù)分離法，構(gòu)造函數(shù)g（x），求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性和極值進行判斷即可

D.令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t），求函數(shù)的導數(shù)，研究函數(shù)的單調(diào)性進行證明即可

A.函數(shù)的 的定義域為（0，+∞），

函數(shù)的導數(shù)f′（x），∴（0，2）上，f′（x）＜0，函數(shù)單調(diào)遞減，（2，+∞）上，f′（x）＞0，函數(shù)單調(diào)遞增，

∴x＝2是f（x）的極小值點，即A錯誤；

B.y＝f（x）﹣xlnx﹣x，∴y′10，

函數(shù)在（0，+∞）上單調(diào)遞減，且f（1）﹣1ln1﹣1=1>0，f（2）﹣2ln2﹣2= ln2﹣1<0，∴函數(shù)y＝f（x）﹣x有且只有1個零點，即B正確；

C.若f（x）＞kx，可得k，令g（x），則g′（x），

令h（x）＝﹣4+x﹣xlnx，則h′（x）＝﹣lnx，

∴在x∈（0，1）上，函數(shù)h（x）單調(diào)遞增，x∈（1，+∞）上函數(shù)h（x）單調(diào)遞減，

∴h（x）h（1）＜0，∴g′（x）＜0，

∴g（x）在（0，+∞）上函數(shù)單調(diào)遞減，函數(shù)無最小值，

∴不存在正實數(shù)k，使得f（x）＞kx恒成立，即C不正確；

D.令t∈（0，2），則2﹣t∈（0，2），2+t＞2，

令g（t）＝f（2+t）﹣f（2﹣t）ln（2+t）ln（2﹣t）ln，

則g′（t）0，

∴g（t）在（0，2）上單調(diào)遞減，

則g（t）＜g（0）＝0，

令x1＝2﹣t，

由f（x1）＝f（x2），得x2＞2+t，

則x1+x2＞2﹣t+2+t＝4，

當x2≥4時，x1+x2＞4顯然成立，

∴對任意兩個正實數(shù)x1，x2，且x2＞x1，若f（x1）＝f（x2），則x1+x2＞4，故D正確

故正確的是BD，

故選：BD．