Question

14．設反比例函數(shù)f（x）=$\frac{1}{x}$與二次函數(shù)g（x）=ax²+bx的圖象有且僅有兩個不同的公共點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），且x₁＜x₂，則$\frac{y_1}{y_2}$=（　　）

• A． 2或$\frac{1}{2}$
• B． -2或$-\frac{1}{2}$
• C． 2或$-\frac{1}{2}$
• D． -2或$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知條件可以畫出f（x），g（x）的圖象，由圖象可得到方程$\frac{1}{x}=a{x}^{2}+bx$，即方程ax³+bx²-1=0有兩個二重根，和一個一重根，所以可設二重根為c，另一根為d．所以上面方程又可表示成：a（x-c）²（x-d）=ax³-（ad+2ac）x²+（2acd+ac²）x-ac²d=0，所以便得到2acd+ac²=0，所以c=-2d．所以再根據(jù)圖象可得$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=-\frac{1}{2}，或-2$．

解答 解：根據(jù)題意可畫出f（x），g（x）可能的圖象：

A，B兩點的橫坐標便是方程$\frac{1}{x}=a{x}^{2}+bx$即ax³+bx²-1=0的解；
由上面圖象知道A，B兩點中有一個點是f（x），g（x）圖象的切點，反應在方程上是方程的二重根；
所以可設二重根為c，另一根為d，則上面方程可變成：
a（x-c）²（x-d）=0；
將方程展開：ax³-（ad+2ac）x²+（2acd+ac²）x-ac²d=0；
∴2acd+ac²=0；
由圖象知a，c≠0；
∴由上面式子得：c=-2d；
${y}_{1}=\frac{1}{{x}_{1}}，{y}_{2}=\frac{1}{{x}_{2}}$；
∴$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$；
∴由圖象知x₁=c，x₂=d，或x₁=d，x₂=c；
∴$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}=\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}=-\frac{1}{2}，或-2$．
故選：B．

點評 考查曲線的公共點和兩曲線方程形成方程組的解的關系，以及方程二重根的概念，知道了方程的根會把方程表示成因式乘積的形式，兩多項式相等時對應系數(shù)相等．