Question

已知函數(shù)f（x）=x³-6x²+15，記y=f（x）的圖象為曲線C．
（Ⅰ）若以曲線C上的任意一點(diǎn)P（x₀，y₀）為切點(diǎn)作切線，求切線的斜率的最小值；
（Ⅱ）以曲線C上的兩個不同動點(diǎn)A、B為切點(diǎn)分別作C的切線l₁、l₂，若l₁∥l₂，若l₁∥l₂恒成立，問動直線AB是否恒過定點(diǎn)M？若存在，求出M的坐標(biāo)，不存在說明理由；
（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，當(dāng)直線AB的斜率為-2時，求△AOB的面積．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程

專題：計算題,導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用,直線與圓

分析：（Ⅰ）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，配方，即可得到最小值；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），運(yùn)用兩直線平行的結(jié)論，結(jié)合中點(diǎn)坐標(biāo)公式，即可得到恒過定點(diǎn)M，及坐標(biāo)；
（Ⅲ）求出點(diǎn)O到直線AB的距離，以及弦長AB，運(yùn)用面積公式，即可得到．

解答： 解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x³-6x²+15的導(dǎo)數(shù)
f′（x）=3x²-12x=3（x-2）²-12，
當(dāng)x=2時，f′（x）取最小，且為-12．
即有切線的斜率的最小值為-12；
（Ⅱ）設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由l₁∥l₂，得3x₁²-12x₁=3x₂²-12x₂，
化簡可得，x₁+x₂=4，則x₁²+x₂²=16-2x₁x₂，
則y₁+y₂=x₁³+x₂³-6x₁²-6x₂²+30=（x₁+x₂）（x₁²-x₁x₂+x₂²）-6（x₁²+x₂²）+30
=4（16-3x₁x₂）-6（16-2x₁x₂）+30=-2，
則恒過定點(diǎn)M，為線段AB的中點(diǎn)，坐標(biāo)為（2，-1）；
（Ⅲ）直線AB的方程為y=-2x+3，
點(diǎn)O到直線AB的距離為d=

3

(-2)2+12

=

3

5

，
k_AB=

x13-x23-6(x12-x22)

x1-x2

=x₁²+x₂²+x₁x₂-6（x1+x₂）=16-x₁x₂-6×4=-2
則x₁x₂=-6，|AB|=

1+4

•

(x1+x2)2-4x1x2

=

5

•

16-4×(-6)

=10

2

則△AOB的面積

1

2

|AB|d=

1

2

×10

2

×

3

5

=3

10

．

點(diǎn)評：本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用；求切線的斜率，考查兩直線的位置關(guān)系和中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)到直線的距離公式和弦長公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．