Question

14．拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，M為C上一點(diǎn)．若|MF|=2p，△MOF的面積為4$\sqrt{3}$，則拋物線方程為y²=8x．

Answer 1

分析 根據(jù)M為拋物線上一點(diǎn)，且|MF|=2p，可確定M的坐標(biāo)，利用△MFO的面積，求出p，即可求得拋物線的方程．

解答 解：由題意，F(xiàn)（$\frac{p}{2}$，0），準(zhǔn)線方程為x=-$\frac{p}{2}$，
∵|MF|=2p．
∴M的橫坐標(biāo)為2p-$\frac{p}{2}$=$\frac{3}{2}$p
∴M的縱坐標(biāo)為y=$±\sqrt{3}$p
∵△MFO的面積為4$\sqrt{3}$，
∴$\frac{1}{2}×$$\frac{p}{2}$×$\sqrt{3}p$=4$\sqrt{3}$，
∴p=4，
∴拋物線的方程為y²=8x．
故答案為：y²=8x．

點(diǎn)評(píng) 本題考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，考查拋物線的定義，解題的關(guān)鍵是確定M的坐標(biāo)．