Question

6．已知橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦點分別為F₁，F(xiàn)₂，且|F₁F₂|=2，點P（2，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）在橢圓上．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設O為坐標原點，圓O：x²+y²=a²，B₁（0，-b），B₂（0，b），E為橢圓C上異于頂點的任意一點，點F在圓O上，且EF⊥x軸，E與F在x軸兩側(cè)，直線EB₁，EB₂分別與x軸交于點C，H，記直線FG，F(xiàn)H的斜率分別為k₁，k₂，問：k₁k₂是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）求得c=1，將P的坐標代入橢圓方程，解方程可得a，b，進而得到橢圓方程；
（2）設E（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{5}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，①由題可設F（m，t），m²+t²=5，②，求得m²，n²，運用直線方程，令y=0，求得G，H的坐標，再由直線的斜率公式，化簡整理得到所求斜率之積為定值．

解答 解：（1）由題意可得2c=2，即c=1，a²-b²=1，
點P（2，$\frac{2\sqrt{5}}{5}$）在橢圓上，可得$\frac{4}{{a}^{2}}$+$\frac{4}{5^{2}}$=1，
解得a=$\sqrt{5}$，b=2，
即有橢圓的方程為$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）設E（m，n），可得$\frac{{m}^{2}}{5}$+$\frac{{n}^{2}}{4}$=1，①
由題可設F（m，t），可得m²+t²=5，②
由①②可得n²=$\frac{4}{5}$t²，
由①可得m²=-$\frac{5}{4}$（n²-4），
由B₁（0，2），B₂（0，-2），
直線EB₁：y=$\frac{n-2}{m}$x+2，
令y=0，可得x=$\frac{-2m}{n-2}$，即G（$\frac{-2m}{n-2}$，0），
直線EB₂：y=$\frac{n+2}{m}$x-2，
令y=0，可得x=$\frac{2m}{n+2}$，即H（$\frac{2m}{n+2}$，0），
即有k₁k₂=$\frac{t}{m-\frac{-2m}{n-2}}$•$\frac{t}{m-\frac{2m}{n+2}}$=$\frac{{t}^{2}（{n}^{2}-4）}{{m}^{2}{n}^{2}}$=$\frac{{t}^{2}（{n}^{2}-4）}{-\frac{5}{4}（{n}^{2}-4）•\frac{4}{5}{t}^{2}}$=-1．
則k₁k₂為定值-1．

點評 本題考查橢圓方程的求法，注意運用焦距和點滿足橢圓方程，考查直線的斜率之積為定值的求法，注意運用點滿足圓方程和橢圓方程，考查化簡整理的運算能力，屬于中檔題．