Question

已知函數(shù)f（x）滿(mǎn)足f(x)=f(

1

x

)，且當(dāng)x∈[

1

e

，1]時(shí)，f（x）=lnx，若當(dāng)x∈[

1

e

，e]時(shí)，函數(shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有兩個(gè)相異交點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A、[-e，0）
• B、[-e，0]
• C、[-

  1

  e

  ，0)
• D、[-e，-

  1

  e

  ]

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像與性質(zhì)

專(zhuān)題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意先求出設(shè)x∈[1，e]上的解析式，再用分段函數(shù)表示出函數(shù)f（x），根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象，根據(jù)圖象求出函數(shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有兩個(gè)相異交點(diǎn)時(shí)實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答： 解：設(shè)x∈[1，e]，則

1

x

∈[

1

e

，1]，
因?yàn)?span id="eqqa2uc" class="MathJye">f(x)=f(

1

x

)，且當(dāng)x∈[

1

e

，1]時(shí)f（x）=lnx，
所以f(x)=f(

1

x

)=ln

1

x

=-lnx，
則f（x）=

lnx，x∈[ 1 e ，1] -lnx，x∈(1，e]

，
在坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)f（x）的圖象如圖：
因?yàn)楹瘮?shù)g（x）=f（x）-ax與x軸有兩個(gè)相異交點(diǎn)，
所以直線(xiàn)y=ax與函數(shù)f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
由圖得，直線(xiàn)y=ax處在x軸和直線(xiàn)OA之間與函數(shù)f（x）的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，
且直線(xiàn)OA的斜率是-

1

e

，
所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是：[-

1

e

，0)，
故選：C．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了方程的根的存在性以及根的個(gè)數(shù)的判斷，解答此題的關(guān)鍵是利用數(shù)形結(jié)合，使復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化．