Question

17．如圖，ABCD是邊長(zhǎng)2的菱形，其中∠DAB=60°，ED垂直平面ABCD，ED=1，EF∥BD且2EF=BD．
（1）求證：平面EAC⊥垂直平面BDEF；
（2）求幾何體ABCDEF的體積．

Answer 1

分析 （1）由ED⊥平面ABCD可得ED⊥AC，再由四邊形ABCD是菱形，得BD⊥AC，然后利用線面垂直的判定可得AC⊥平面BDEF．從而得到平面EAC⊥平面BDEF；
（2）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)FO，由EF∥DO，且EF=DO，可得四邊形EFOD是平行四邊形，再由ED⊥平面ABCD，可得EO⊥DO，進(jìn)一步得到AC⊥平面BDEF．
∴點(diǎn)A到平面BDEF的距離等于就是△ABD邊BD上的高，求解直角三角形求得點(diǎn)A到平面BDEF的距離，再由幾何體ABCDEF的體積V=V_A-BDEF+V_C-BDEF=2V_A-BDEF求得答案．

解答 （1）證明：∵ED⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴ED⊥AC，
∵四邊形ABCD是菱形，
∴BD⊥AC，
又ED∩DB=D，
∴AC⊥平面BDEF．
又AC?平面EAC，故平面EAC⊥平面BDEF；
（2）設(shè)AC∩BD=O，連結(jié)FO，∵EF∥DO，且EF=DO，
∴四邊形EFOD是平行四邊形，
又ED⊥平面ABCD，可得EO⊥DO，
∴四邊形EFOD是矩形．
∵AC⊥平面BDEF．
∴點(diǎn)A到平面BDEF的距離等于就是△ABD邊BD上的高，
且高$h=2sin{60°}=\sqrt{3}$．
∴幾何體ABCDEF的體積V=V_A-BDEF+V_C-BDEF=2V_A-BDEF=2×$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×（1+2）×\sqrt{3}=\sqrt{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等體積法求多面體的體積，屬中檔題．