Question

2．已知函數(shù)$f（x）=2{sin^2}x+\sqrt{3}sin2x+1$．求：
（1）f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最值．

Answer 1

分析 （1）先根據(jù)兩角和公式對函數(shù)解析式進行化簡，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質得出答案．
（2）確定變量的范圍，即可求出f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最值．

解答 解：（1）$f（x）=2{sin^2}x+\sqrt{3}sin2x+1$=$1-cos2x+\sqrt{3}sin2x+1$
=$\sqrt{3}sin2x-cos2x+2$
=$2sin（2x-\frac{π}{6}）+2$
$\begin{array}{l}∴-\frac{π}{2}+2kπ≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{π}{2}+2kπ\(zhòng)\∴-\frac{π}{6}+kπ≤x≤\frac{π}{3}+kπ\(zhòng)end{array}$
∴f（x）的單調遞增區(qū)間為$[{-\frac{π}{6}+kπ，\frac{π}{3}+kπ}]$
（2）∵$0≤x≤\frac{π}{2}$
∴$-\frac{π}{6}≤2x-\frac{π}{6}≤\frac{5π}{6}$
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）∈[{-\frac{1}{2}，1}]$
∴f（x）∈[1，4]．

點評 本題主要考查兩角和公式及三角函數(shù)單調性、最值問題．把三角函數(shù)化簡成y=Asin（ωx+φ）的形式很關鍵．