Question

14．如圖，割線PAB交于圓O于A、B兩點(diǎn)，PO交于圓O于C，D在AB上，且滿足CD²=DA•DB．
（Ⅰ）求證：OD⊥CD；
（Ⅱ）若PA=6，AB=$\frac{22}{3}$，PO=12，求PC的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）延長CD，交圓O于E，證明D是CE的中點(diǎn)，即可證明：OD⊥CD；
（Ⅱ）延長PO交圓O于F，由割線定理得PC•PF=PA•PB，代入數(shù)據(jù)求PC的長．

解答 （Ⅰ）證明：延長CD，交圓O于E，
由相交弦定理得CD•DE=DA•DB，
∵CD²=DA•DB，
∴CD=DE，
∴D是CE的中點(diǎn)，
∴OD⊥CD；
（Ⅱ）解：延長PO交圓O于F，
由割線定理得PC•PF=PA•PB，
設(shè)圓O的半徑為r，則（12-r）（12+r）=6×（6+$\frac{22}{3}$），
∴r=8，
∴PC=4．

點(diǎn)評 本題考查相交弦定理、割線定理，考查學(xué)生方程解決問題的能力，屬于中檔題．