Question

9．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C、F為⊙O上的兩點(diǎn)，OC⊥AB，過(guò)點(diǎn)F作⊙O的切線(xiàn)FD交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D，連結(jié)CF交AB于點(diǎn)E．若AB=6，ED=4，則EF=（　�。�

• A． 2
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{{4\sqrt{5}}}{3}$
• D． $\frac{{4\sqrt{10}}}{5}$

Answer 1

分析 （1）連接OF，利用切線(xiàn)的性質(zhì)及角之間的互余關(guān)系得到DF=DE，再結(jié)合切割線(xiàn)定理即可證明DE²=DB•DA，由圓中相交弦定理得CE•EF=AE•EB，結(jié)合直角三角形中邊的關(guān)系，先求出AE和EB，從而求出EF的長(zhǎng)．

解答 解：連結(jié)OF．
∵DF切⊙O于F，
∴∠OFD=90°，
∴∠OFC+∠CFD=90°
∵OC=OF，
∴∠OCF=∠OFC．
∵CO⊥AB于O，
∴∠OCF+∠CEO=90°．
∴∠CFD=∠CEO=∠DEF，
∴DF=DE．
∵DF是⊙O的切線(xiàn)，
∴DF²=DB•DA．
∴DE²=DB•DA．
∵AB=6，ED=4，
∴16=DB（DB+6），
∴DB=2，
∴BE=2，OE=1，
∴CE=$\sqrt{9+1}$=$\sqrt{10}$
∵CE•EF=AE•EB=（3+1）×2=8，
∴EF=$\frac{8}{\sqrt{10}}$=$\frac{4}{5}\sqrt{10}$．
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了與圓有關(guān)的比例線(xiàn)段、圓的切線(xiàn)的性質(zhì)定理的應(yīng)用，屬于中檔題．