【題目】已知函數(shù)f(x)=1+a( )x+( )x .
(1)當a=﹣2,x∈[1,2]時,求函數(shù)f(x)的最大值與最小值;
(2)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上都有﹣2≤f(x)≤3,求實數(shù)a的取值范圍.
【答案】
(1)解:令t=( )x,則y=f(x)=1+at+t2,
當a=﹣2,x∈[1,2]時,y=f(x)=1﹣2t+t2,t∈[ , ],
當t= ,即x=2時,函數(shù)f(x)的最大值為 ,
當t= ,即x=1時,函數(shù)f(x)的最小值為
(2)解:若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上都有﹣2≤f(x)≤3,
則y=1+at+t2,在(0, ]上都有﹣2≤y≤3,
由函數(shù)y=1+at+t2的圖象是開口朝上,且以直線t= 為對稱軸的直線,
故當 ≤0,即a≥0時,1+ a+ ≤3,解得:a∈[0, ]
當0< < ,即 <a<0時, ,解得:a∈( ,0),
當 ≥ ,即a≤ 時,1+ a+ ≥﹣2,解得:a∈[﹣ , ]
綜相可得a∈[﹣ , ]
【解析】令t=( )x , 則y=f(x)=1+at+t2 , (1)當a=﹣2,x∈[1,2]時,y=f(x)=1﹣2t+t2 , t∈[ , ],結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得函數(shù)f(x)的最大值與最小值;(2)若函數(shù)f(x)在[1,+∞)上都有﹣2≤f(x)≤3,y=1+at+t2 , 在(0, ]上都有﹣2≤y≤3,結(jié)合二次函數(shù)的圖象和性質(zhì),可得實數(shù)a的取值范圍.
【考點精析】認真審題,首先需要了解函數(shù)的最值及其幾何意義(利用二次函數(shù)的性質(zhì)(配方法)求函數(shù)的最大(。┲担焕脠D象求函數(shù)的最大(小)值;利用函數(shù)單調(diào)性的判斷函數(shù)的最大(。┲).
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:
【題目】已知f(x)= ,當點M(x,y)在y=f(x)的圖象上運動時,點N(x﹣2,ny)在函數(shù)y=gn(x)的圖象上運動(n∈N*).
(1)求y=gn(x)的表達式;
(2)若方程g1(x)=g2(x﹣2+a)有實根,求實數(shù)a的取值范圍;
(3)設(shè) ,函數(shù)F(x)=H1(x)+g1(x)(0<a≤x≤b)的值域為 ,求實數(shù)a,b的值.
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【題目】如圖,四棱錐S﹣ABCD中,△ABD是正三角形,CB=CD,SC⊥BD.
(Ⅰ)求證:SB=SD;
(Ⅱ)若∠BCD=120°,M為棱SA的中點,求證:DM∥平面SBC.
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【題目】設(shè)奇函數(shù)f(x)在(0,+∞)上為增函數(shù),且f(1)=0,則不等式 <0的解集為( )
A.(﹣1,0)∪(1,+∞)
B.(﹣∞,﹣1)∪(0,1)
C.(﹣∞,﹣1)∪(1,+∞)
D.(﹣1,0)∪(0,1)
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【題目】已知圓C1:x2+y2﹣3x﹣3y+3=0,圓C2:x2+y2﹣2x﹣2y=0.
(1)求兩圓的公共弦所在的直線方程及公共弦長.
(2)求過兩圓交點且面積最小的圓的方程.
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【題目】已知函數(shù) =f(2x)
(1)用定義證明函數(shù)g(x)在(﹣∞,0)上為減函數(shù).
(2)求g(x)在(﹣∞,﹣1]上的最小值.
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【題目】已知函數(shù)(且),為自然對數(shù)的底數(shù).
(Ⅰ)當時,求函數(shù)在區(qū)間上的最大值;
(Ⅱ)若函數(shù)只有一個零點,求的值.
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【題目】已知二次函數(shù)f(x)=ax2+bx(a,b為常數(shù),且a≠0),f(2)=0,且方程f(x)=x有等根.
(1)求f(x)的解析式
(2)是否存在常數(shù)m,n(m<n),使f(x)的定義域和值域分別是[m,n]和[2m,2n]?如存在,求出m,n的值;如不存在,說明理由.
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【題目】在平面直角坐標系中,一動圓經(jīng)過點且與直線相切,設(shè)該動圓圓心的軌跡方程為曲線.
(Ⅰ)求曲線的方程;
(Ⅱ)設(shè)是曲線上的動點,點的橫坐標為,點,在軸上,的內(nèi)切圓的方程為,將表示成的函數(shù),并求面積的最小值.
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