Question

【題目】已知f（x）= ，當(dāng)點(diǎn)M（x，y）在y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)N（x﹣2，ny）在函數(shù)y=gn（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)（n∈N*）．
（1）求y=gn（x）的表達(dá)式；
（2）若方程g1（x）=g2（x﹣2+a）有實(shí)根，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（3）設(shè) ，函數(shù)F（x）=H1（x）+g1（x）（0＜a≤x≤b）的值域?yàn)? ，求實(shí)數(shù)a，b的值．

Answer 1

【答案】
（1）

解：由 ，

得 ，

所以 ，（x＞﹣2）

（2）

解： ，

即 （x+2＞0）

，令 ，

所以 ，

當(dāng) 時(shí)， ．

即實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（3）

解：因?yàn)? ，

所以 ．F（x）在（﹣2，+∞）上是減函數(shù)．

所以

即 ，

所以

【解析】（1）根據(jù)點(diǎn)M（x，y）在y=f（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)可得y=log2x，點(diǎn)N（x﹣2，ny）函數(shù)y=gn（x）的圖象上運(yùn)動(dòng)可得 gn（x﹣2）=ny故 gn（x﹣2）=nlog2x（x＞0）再用x+2代x即可求出y=gn（x）的表達(dá)式．（2）由（1）可得要使關(guān)于x的方程 g1（x）=g2（x﹣2+a）有實(shí)根，a∈R，可得：（x+2）2=x+a在x＞﹣2有實(shí)根即a=（x+2）2﹣x在x＞﹣2有實(shí)根即只需求出（x+2）2﹣x在x＞﹣2的范圍即為a的范圍．（3）由（1）可得F（x）= +log （x+2）（x＞﹣2）再根據(jù)） 和log （x+2）的單調(diào)性得出F（x）的單調(diào)性，從而可求出F（x）在[a．b]的值域再利用值域?yàn)? 可列出等式求出a，b的值．