Question

數(shù)列{a_n}中，若a₁=1，a_n＞0，S_n+1+S_n=

an+12+3

4

，求a_n，S_n．

Answer 1

考點：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關系，進行化簡，得到數(shù)列{a_n}是公差d=4的等差數(shù)列，即可得到結論．

解答： 解：∵S_n+1+S_n=

an+12+3

4

，
∴當n≥2時，S_n+S_n-1=

an2+3

4

，
兩式相減得S_n+1+S_n-（S_n+S_n-1）=

an+12+3

4

-

an2+3

4

，
即a_n+1+a_n=

(an+1-an)(an+1+an)

4

，
∵a_n＞0，∴a_n+1+a_n＞0，
∴

an+1-an

4

=1，即a_n+1-a_n=4，
當n=1時，a₁+a₂+a₁=

a22+3

4

，
即a22-4a2-5=0，解得a₂=5，滿足a_n+1-a_n=4，
∴數(shù)列{a_n}是公差d=4的等差數(shù)列，
∴a_n=1+4（n-1）=4n-3，S_n=

a1+an

2

×n=

4n-3+1

2

×n=2n²-n．

點評：本題主要考查通項公式和數(shù)列前n項和的計算，根據(jù)條件判斷數(shù)列是等差數(shù)列是解決本題的關鍵．