Question

15．在△ABC中，已知tanA，tanB是關于x的方程x²+（x+1）p+1=0的兩個實根．
（1）求角C；
（2）求實數(shù)p的取值集合．

Answer 1

分析 （1）先由根系關系得出tanA與tanB和與積，由正切的和角公式代入求值，結合A，B的范圍即可計算得解A+B的值，利用三角形內(nèi)角和定理即可求C的值．
（2）由（1）可求A，B的取值范圍，進而得方程兩根的取值范圍，構造函數(shù)f（x）=x²+px+p+1，則函數(shù)的兩個零點均在區(qū)間（0，1）內(nèi)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)構造關于p的不等式組可以求出滿足條件的p的范圍．

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）根據(jù)題意，則有tanA+tanB=-p，tanAtanB=p+1，
而$tan（A+B）=\frac{tanA+tanB}{1-tanAtanB}=\frac{-p}{1-（p+1）}=1$，又A，B是△ABC的內(nèi)角，
所以$A+B=\frac{π}{4}$，則$C=π-（A+B）=\frac{3π}{4}$．…（4分）
（2）在△ABC中由（1）知$A+B=\frac{π}{4}$，則$A，B∈（0，\frac{π}{4}）$，即tanA，tanB∈（0，1），…（6分）
則關于x的方程x²+（p+1）x+1=x²+px+p+1=0在區(qū)間（0，1）上有兩個實根，…（7分）
設f（x）=x²+px+p+1，則函數(shù)f（x）與x軸有兩個交點，且交點在（0，1）內(nèi)；
又函數(shù)f（x）的圖象是開口向上的拋物線，且對稱軸方程為x=-$\frac{p}{2}$，
故其圖象滿足：$\left\{\begin{array}{l}{0^2}+（p+1）•0+1＞0\\{1^2}+（p+1）•1+1＞0\\ 0＜-\frac{p}{2}＜1\\△={p^2}-4（p+1）≥0\end{array}\right.$，…（9分）
解之得：$-2＜p≤2-2\sqrt{2}$．…（11分）
所以實數(shù)p的取值集合為$（-2，2-2\sqrt{2}]$．…（12分）

點評 本題考查的知識點是函數(shù)的零點，韋達定理（一元二次方程根與系數(shù)關系），兩角和的正切公式，其中利用韋達定理及兩角和的正切公式，確定方程兩個根的范圍是解答的關鍵，屬于中檔題．