Question

5．己知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinxcosx+sin²x+$\frac{1}{2}$（x∈R），
（Ⅰ）當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}$]時，求函數(shù)f（x）的最小值和最大值；
（Ⅱ）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對應(yīng)邊分別為a，b，c，且c=$\sqrt{3}$，f（C）=2，若向量$\overrightarrow m=（{1，a}$）與向量$\overrightarrow n=（{2，b}$）共線，求a，b的值．

Answer 1

分析 （1）函數(shù)化一后求值域；（2）三角形中余弦定理的應(yīng)用求邊．

解答 解：（Ⅰ）由題意得：f（x）=$\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x+1$
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1，
當(dāng)x∈[-$\frac{π}{4}，\frac{π}{6}}$]時，2x-$\frac{π}{6}∈[-\frac{2π}{3}，\frac{π}{6}]$，
∴當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{2}$即x=$-\frac{π}{6}$時，函數(shù)f（x）的最小值 為0；
 當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$即x=$\frac{π}{6}$時，則f（x）的最大值為$\frac{3}{2}$，
故最大值為$\frac{3}{2}$，最小值為0；
（Ⅱ）由f（C）=2知，$sin（2C-\frac{π}{6}）+1=2$∴$sin（2C-\frac{π}{6}）=1$，
∵0＜C＜π∴$2C-\frac{π}{6}=\frac{π}{2}$∴$C=\frac{π}{3}$，
由$\overrightarrow m∥\overrightarrow n$知，b=2a，
又c²=a²+b²-2abcosC，$c=\sqrt{3}$，
則$\left\{{\begin{array}{l}{a=1}\\{b=2}\end{array}}\right.$．

點評 本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．