Question

己知定義在實數(shù)集R上的函數(shù)f（x）滿足：
①f（2-x）=f（x）；②f（x+2）=f（x-2）；③當(dāng)x₁，x₂∈[1，3]時，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，
則f（2014）、f（2015）、f（2016）滿足（　�。�

• A、f（2014）＞f（2015）＞f（2016）
• B、f（2016）＞f（2015）＞f（2014）
• C、f（2016）=f（2014）＞f（2015）
• D、f（2016）=f（2014）＜f（2015）

Answer 1

考點：抽象函數(shù)及其應(yīng)用

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：①給出了函數(shù)的對稱軸；②給出了周期；③確定了單調(diào)性，據(jù)此可以將給的函數(shù)值進行轉(zhuǎn)化，最終變成[1，3]內(nèi)的函數(shù)值再進行比較．

解答： 解：因為f（2-x）=f（x），所以該函數(shù)的對稱軸為x=

2-x+x

2

=1，
由f（x+2）=f（x-2），令t=x-2，代入原式得f（t+4）=f（t），所以該函數(shù)周期為4，
因為當(dāng)x₁，x₂∈[1，3]時，

f(x1)-f(x2)

x1-x2

＞0，所以該函數(shù)在[1，3]上是減函數(shù)．
則f（2014）=f（4×503+2）=f（2），f（2015）=f（4×503+3）=f（3），f（2016）=f（4×504）=f（0）=f（2-0）=f（2）．
所以f（2014）=f（2016）=f（2）＞f（3）=f（2015），
故選：C．

點評：正確理解給的三個條件所體現(xiàn)的函數(shù)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，注意化歸思想在本題中應(yīng)用．