Question

已知圓C：x²+（y-a）²=4，點A（1，0）．
（1）過A得圓C切線存在時，求a范圍，并求a=2時的切線方程；
（2）設AM，AN為圓C切線，M，N為切點，|MN|=

4 5

5

時，求MN所在直線的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應用

專題：直線與圓

分析：（1）由直線與圓的位置關系，得當點A在圓外或圓上過點A的圓C的切線存在．再由點與圓的位置關系，建立關于a的不等式，解之即得實數(shù)a的取值范圍；
（2）根據(jù)圓的對稱性得到|DM||MN|．利用垂徑定理算出CD的長度，在Rt△MCD中，算出cos∠MCD的值，得cos∠MCA．然后在Rt△MCA中利用解三角形知識算出AC長，結合|OC|=2得出|AM|=1．由題意知MN是以A為圓心、半徑為AM的圓與圓C的公共弦，由此列式即可求出MN所在直線的方程．

解答： 解：（1）已知圓C：x²+（y-a）²=4，點A（1，0）．
則：圓心C（0，a），半徑R=2，過A得圓C切線存在時
|CA|≥2 即：

a2+1

≥2
解得：a≥

3

或a≤-

3

當a=2時，圓C：x²+（y-2）²=4，過A（1，0）的切線
設直線的斜率為k，則直線方程為：y=k（x-1）
即：kx-y-k=0

|-2-k|

1+k2

=2
解得：k=0或

4

3

求得直線方程為：x=0或4x-3y-1=0
（2）（2）如圖，設MN與AC交于D點
|MN|=

4

5

5

則：|DM|=

2

5

5

∵|MC|=2 由垂徑定理得：|CD|=

4

5

在Rt△MCD中，cos∠MCD=

4 5

2

=

2

5

在Rt△MAC中，|AC|=

5

∴|OC|=2，|AM|=1
MN是以A為圓心半徑為AM的圓與圓C的公共弦．
⊙A的方程為：（x-1）²+y²=1
⊙C的方程為：x²+（y-2）²=4或x²+（y+2）²=4
所以MN所在的直線為⊙A的方程與⊙C的方程的差值
解得：x-2y=0或x+2y=0
故答案為：（1）a≥

3

或a≤-

3

  切線方程為：x=0或4x-3y-1=0
（2）x-2y=0或x+2y=0

點評：本題考查的知識點：直線與圓的位置關系，圓的標準方程以及圓的幾何性質．