Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若曲線在點(diǎn)處的切線方程為，求的值；

（2）若的導(dǎo)函數(shù)存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，是否存在整數(shù)，使得關(guān)于的不等式恒成立？若存在，求出的最大值；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）存在，最大值為.

【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由題意得出從而可求出實(shí)數(shù)的值；

（2）令，可得知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，分和兩種情況討論，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性和極值，由題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)極值相關(guān)的不等式，解出即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍；

（3）將代入函數(shù)的解析式得出，對(duì)該函數(shù)求導(dǎo)得出，構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性結(jié)合零點(diǎn)存在定理找出函數(shù)的極小值點(diǎn)，并滿足，結(jié)合此關(guān)系式計(jì)算得出，從而可得出整數(shù)的最大值.

（1），

因?yàn)榍�線在點(diǎn)處的切線方程為，

所以，得；

（2）因?yàn)?/span>存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn).

所以存在兩個(gè)不相等的零點(diǎn)，則.

①當(dāng)時(shí)，，所以單調(diào)遞增，至多有一個(gè)零點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，

所以時(shí)，.

因?yàn)?/span>存在兩個(gè)零點(diǎn)，所以，解得.

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).

因?yàn)?/span>，所以.

因?yàn)?/span>，設(shè)，則，

因?yàn)?/span>，所以單調(diào)遞減，

所以，所以，

所以在上存在一個(gè)零點(diǎn).

綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍為；

（3）當(dāng)時(shí)，，，

設(shè)，則.所以單調(diào)遞增，

且，，所以存在使得，

因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，即，所以單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，即，所以單調(diào)遞增，

所以時(shí)，取得極小值，也是最小值，

此時(shí)，

因?yàn)?/span>，所以，

因?yàn)?/span>，且為整數(shù)，所以，即的最大值為.