Question

13．函數(shù)$f（x）=\frac{2}{x}+\frac{1}{1-x}\;（x∈（0，1））$在x=2-$\sqrt{2}$處取到最小值，且最小值是3$+2\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 由0＜x＜1可得1-x＞0，f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-x}$=（x+1-x）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-x}$），展開后運用基本不等式，即可求得最小值和對應(yīng)的x的值．

解答 解：由0＜x＜1可得1-x＞0，
f（x）=$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-x}$=（x+1-x）（$\frac{2}{x}$+$\frac{1}{1-x}$）=3+$\frac{2（1-x）}{x}$+$\frac{x}{1-x}$≥3+2$\sqrt{\frac{2（1-x）}{x}•\frac{x}{1-x}}$=3$+2\sqrt{2}$，
當(dāng)且僅當(dāng)x=$\sqrt{2}$（1-x），即x=2-$\sqrt{2}$時，取得最小值，
且為3+2$\sqrt{2}$．
故答案為：2-$\sqrt{2}$，3+2$\sqrt{2}$．

點評 本題考查函數(shù)的最值的求法，注意運用乘1法和基本不等式，考查運算能力，屬于中檔題和易錯題．