Question

11．已知點(diǎn)P（0，5）及圓C：x²+y²+4x-12y+24=0
（1）寫出圓C的圓心坐標(biāo)及半徑；
（2）若直線l過(guò)點(diǎn)P且被圓C截得的線段長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，求l的方程；
（3）過(guò)點(diǎn)P的圓C的弦的中點(diǎn)D的軌跡方程．

Answer 1

分析 （1）整理出圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程，確定圓的圓心與半徑；
（2）分類討論，利用直線ι被圓C截得的線段長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，可得直線ι與圓心的距離為2，由此可得結(jié)論；
（3）設(shè)過(guò)P點(diǎn)的圓c的弦的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），利用CD⊥PD，可得方程．

解答 解：（1）整理圓的方程得（x+2）²+（y-6）²=16，
圓心（-2，6），半徑r=4；（3分）
（2）由圓C：x²+y²+4x-12y+24=0得圓心坐標(biāo)為（-2，6），半徑為4
又∵直線ι被圓C截得的線段長(zhǎng)為4$\sqrt{3}$，∴直線ι與圓心的距離為2，
當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)L的斜率是k，過(guò)P（0，5），設(shè)直線ι：y=kx+5，即kx-y+5=0；
∵直線ι與圓C的圓心相距為2，∴d=$\frac{||-2k-6+5|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$，此時(shí)直線的方程為3x-4y+20=0；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為x=0，也符合題意．
故所求直線的方程為3x-4y+20=0或x=0．（8分）
（3）設(shè)過(guò)P點(diǎn)的圓c的弦的中點(diǎn)D的坐標(biāo)為（x，y），則
∵CD⊥PD，∴（x+2）•x+（y-6）•（y-5）=0
化簡(jiǎn)得所求軌跡方程為x²+y²+2x-11y+30=0．（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查圓的方程，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查軌跡方程，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．