Question

已知三個(gè)正數(shù)a，b，c滿足a＜b＜c．
（1）若a，b，c是從{

1

10

，

2

10

，…

9

10

}中任取的三個(gè)數(shù)，求a，b，c能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)的概率；
（2）若a，b，c是從（0，1）中任取的三個(gè)數(shù)，求a，b，c能構(gòu)成三角形三邊長(zhǎng)的概率．

Answer 1

分析：（1）討論c的值，從而求出a，b，c能構(gòu)成三角形的個(gè)數(shù)，然后求出求從{

1

10

，

2

10

，…

9

10

}中任取的三個(gè)數(shù)a，b，c（a＜b＜c）的種數(shù)，利用古典概型的概率公式解之即可；
（2）a，b，c能構(gòu)成三角形的充要條件是

0＜a＜b＜c＜1 a+b＞c 0＜c＜1

，在坐標(biāo)系aOb內(nèi)畫(huà)出滿足以上條件的區(qū)域，由幾何概型的計(jì)算方法可求出所求．

解答：解：（1）若a，b，c能構(gòu)成三角形，則a+b＞c，c≥

4

10

．
①若c=

4

10

時(shí)，b=

3

10

，a=

2

10

．共1種；
②若c=

5

10

時(shí)．b=

4

10

，a=

3

10

，

2

10

．共2種；
同理c=

6

10

時(shí)，有3+1=4種；c=

7

10

時(shí)，有4+2=6種；c=

8

10

時(shí)，有5+3+1=9種；c=

9

10

時(shí)，有6+4+2=12種．
于是共有1+2+4+6+9+12=34種．
下面求從{

1

10

，

2

10

，…

9

10

}中任取的三個(gè)數(shù)a，b，c（a＜b＜c）的種數(shù)：
①若a=

1

10

，b=

2

10

，則c=

3

10

，…，

9

10

，有7種；b=

3

10

，c=

4

10

，…，

9

10

，有6種；b=

4

10

，c=

5

10

，…，

9

10

，有5種；…； b=

8

10

，c=

9

10

，有1種．
故共有7+6+5+4+3+2+1=28種．
同理，a=

2

10

時(shí)，有6+5+4+3+2+1=21種；a=

3

10

時(shí)，有5+4+3+2+1=15種；a=

4

10

時(shí)，有4+3+2+1=10種；a=

5

10

時(shí)，有3+2+1=6種；a=

6

10

時(shí)，有2+1=3種；a=

7

10

時(shí)，有1種．這時(shí)共有28+21+15+10+6+3+1=84種．
∴a，b，c能構(gòu)成三角形的概率為

34

84

=

17

42

．
（2）a，b，c能構(gòu)成三角形的充要條件是

0＜a＜b＜c＜1 a+b＞c 0＜c＜1

．
在坐標(biāo)系aOb內(nèi)畫(huà)出滿足以上條件的區(qū)域（如右圖陰影部分），
由幾何概型的計(jì)算方法可知，只求陰影部分的面積與圖中正方形的面積比即可．
又S_陰影=

1

2

，于是所要求的概率為P=

1 2

1

=

1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查古典概型和幾何概型的概率估算公式中的“幾何度量”，可以為線段長(zhǎng)度、面積、體積等，而且這個(gè)“幾何度量”只與“大小”有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān)，同時(shí)考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題．