Question

1．（1）已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足lgx_n+1=1+lgx_n（n∈N^*）且x₁+x₂+…+x₁₀₀=1，求lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）的值；
（2）已知數(shù)列{a_n}滿(mǎn)足a₁+$\frac{{a}_{2}}{2}$+$\frac{{a}_{3}}{3}$+…+$\frac{{a}_{n}}{n}$=2ⁿ，求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．

Answer 1

分析 （1）數(shù)列{x_n}滿(mǎn)足lgx_n+1=1+lgx_n（n∈N^*），可得lg$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=1，即x_n+1=10x_n．再利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)即可得出．
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$，則S_n=2ⁿ，根據(jù)數(shù)列的遞推公式公式即可求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．

解答 解：（1）∵數(shù)列{x_n}滿(mǎn)足lgx_n+1=1+lgx_n（n∈N^*），
∴l(xiāng)g$\frac{{x}_{n+1}}{{x}_{n}}$=1，即x_n+1=10x_n．
∴數(shù)列{x_n}是公比為10的等比數(shù)列．
且x₁+x₂+x₃+…+x₁₀₀=1，
則lg（x₁₀₁+x₁₀₂+…+x₂₀₀）lg10¹⁰⁰（x₁+x₂+…+x₁₀₀）=lg10¹⁰⁰•1=100．
（2）設(shè)b_n=$\frac{{a}_{n}}{n}$
∴S_n=2ⁿ，
當(dāng)n=1時(shí)，b₁=S₁=2，
當(dāng)n≥2時(shí)，∴S_n-1=2^n-1，
∴b_n=S_n-S_n-1=2ⁿ-2^n-1=2^n-1，
令n=1時(shí)，b₁=2≠1，
∴$\frac{{a}_{n}}{n}$=2^n-1，
∴a_n=n•2^n-1，n≥2時(shí)，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=2，
綜上所述a_n=$\left\{\begin{array}{l}{2，n=1}\\{n•{2}^{n-1}，n≥2}\end{array}\right.$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式及其性質(zhì)、對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．