Question

如圖，三棱錐中，底面，

，，點(diǎn)、分別是、的中點(diǎn).

（Ⅰ）求證：⊥平面；（Ⅱ）求二面角的大小.

Answer 1

（Ⅰ）略（Ⅱ）

解析:

方法（一）

 (Ⅰ)由已知可得為等腰直角三角形，則． 1分由平面，平面，則．又，，則平面，由平面，得．（也可以用三垂線定理直接證明）由中位線定理得，，于是，又，所以平面．6分

(Ⅱ)由第(Ⅰ)問(wèn)，已證明平面，又平面，則．已證明，又，則平面．因?yàn)?img width=41 height=17 src="http://thumb.1010pic.com/pic1/1899/sx/197/275997.gif" >平面，平面，所以，．由二面角的定義，得為二面角的平面角．…………9分

設(shè)，可求得，，

在中，可求得，在中，可求得，

在中，由余弦定理得，．

則為所求．……12分

方法（二）

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，

可求出以下各點(diǎn)的坐標(biāo)：A（2，2，0），B（0，0，0），C（2，0，0），

P（0，0，2），E（1，0，1），F(xiàn)（1，1，1）

(Ⅰ)，，

有，，

于是，，又，

則平面．……6分

(Ⅱ)，有，，

于是，，由二面角定義，向量與的夾角為所求．

，所以為所求．……12分

本小題主要考查三棱錐，直線與平面的垂直，二面角的計(jì)算，考查空間想象能力、思維能力和運(yùn)算能力．