Question

18．對(duì)于△ABC，有如下四個(gè)命題：
①若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形，
②若sinB=cosA，則△ABC是直角三角形
③若sin²A+sin²B＜sin²C，則△ABC是鈍角三角形
④若$\frac{a}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{cos\frac{B}{2}}$=$\frac{c}{cos\frac{C}{2}}$，則△ABC是等邊三角形．
其中正確的命題的序號(hào)是③④．

Answer 1

分析 ①舉反例，2A=π-2B，
②舉反例，B=π-$\frac{π}{2}$+A，
③④運(yùn)用正弦定理來證明．

解答 解：①也有可能2A=π-2B，求得A+B=$\frac{π}{2}$，不一定是等腰三角形．
②也有可能有B=π-$\frac{π}{2}$+A，B-A=$\frac{π}{2}$，此時(shí)三角形為鈍角三角形，故②不一定正確．
③∵sin²A+sin²B＜sin²C，由正弦定理知a²+b²＜c²，
∴cosC=$\frac{{a}^{2}+^{2}-{c}^{2}}{2ab}$＜0，
∴C一定為鈍角，③正確
④∵$\frac{a}{cos\frac{A}{2}}$=$\frac{cos\frac{B}{2}}$，
∴sin$\frac{A}{2}$=sin$\frac{B}{2}$，
∴A=B或$\frac{A}{2}$+$\frac{B}{2}$=π（不符合題意），
∴A=B，
同理可知B=C，
∴三角形一定為等邊三角形，
故答案為：③④

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了正弦定理的應(yīng)用．解題過程中需要學(xué)生心細(xì)程度較高．