Question

7．化簡、求值：
（I）sin140°（$\sqrt{3}$-tan10°）；
（II）已知α、β都是銳角，tanα=$\frac{1}{7}$，sinβ=$\frac{\sqrt{10}}{10}$，求sin（α+2β）的值．

Answer 1

分析 （I）把$\sqrt{3}$轉(zhuǎn)化成tan60°，進(jìn)而切化弦，整理化簡．
（II）先分別求得sinα，cosα和cosβ的值，進(jìn)而利用兩角和公式求得sin（α+β）的值，最后利用sin（α+2β）=sin（α+β+β）求得答案．

解答 解：（I）原式=sin40°（$\frac{sin60°}{cos60°}$-$\frac{sin10°}{cos10°}$）=sin40°•$\frac{sin50°}{\frac{1}{2}cos10°}$=$\frac{sin40°•cos40°}{\frac{1}{2}•cos10°}$=$\frac{sin80°}{cos10°}$=1．
（II）依題意可知sinα=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$，cosα=$\frac{7}{5\sqrt{2}}$，cosβ=$\frac{3}{10}$，
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=$\frac{1}{5\sqrt{2}}$×$\frac{3}{10}$+$\frac{7}{5\sqrt{2}}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{3\sqrt{2}+7\sqrt{5}}{50}$，
cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ=$\frac{7}{5\sqrt{2}}$×$\frac{3}{10}$-$\frac{1}{5\sqrt{2}}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{21\sqrt{2}-\sqrt{5}}{50}$，
∴sin（α+2β）=sin（α+β+β）=sin（α+β）cosβ+cos（α+β）sinβ=$\frac{3\sqrt{2}+7\sqrt{5}}{50}$×$\frac{3}{10}$+$\frac{21\sqrt{2}-\sqrt{5}}{50}$×$\frac{\sqrt{10}}{10}$=$\frac{4\sqrt{2}+63\sqrt{5}}{500}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角和公式的運(yùn)用，誘導(dǎo)公式的化簡求值，同角三角函數(shù)的應(yīng)用．綜合考查了學(xué)生對(duì)三角函數(shù)基礎(chǔ)知識(shí)的靈活運(yùn)用．