Question

2．已知函數(shù)f（x）=（ax²+x-1）e^x，g（x）=$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m．
（Ⅰ）當(dāng)a＜0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）當(dāng)a=-1時，若函數(shù)h（x）=f（x）-g（x）有3個不同的零點，求實數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)f′（x），然后討論a與0的大小關(guān)系，在函數(shù)的定義域內(nèi)解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0，即可求出函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）求出h（x）的導(dǎo)數(shù)，求出單調(diào)區(qū)間、極值，函數(shù)h（x）有3個不同的零點，即有h（-1）＜0，且h（0）＞0，解出即可

解答 解：（1）∵f′（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=axe^x（x+$\frac{2a+1}{a}$），且a＜0，
∴當(dāng)a∈（-$\frac{1}{2}$，0）時，f（x）在（-∞，0）上是減函數(shù)，在（0，-$\frac{2a+1}{a}$）上是增函數(shù)，在（-$\frac{2a+1}{a}$，+∞）上是減函數(shù)，
當(dāng)a=-$\frac{1}{2}$時，f（x）在（-∞，+∞）上單調(diào)遞減；
當(dāng)a∈（-∞，-$\frac{1}{2}$）時，f（x）在（-∞，-$\frac{2a+1}{a}$）上是減函數(shù)，在（-$\frac{2a+1}{a}$，0）上是增函數(shù)，在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（2）由h（x）=f（x）-g（x）=（-x²+x-1）e^x-（$\frac{1}{3}$x³+$\frac{1}{2}$x²+m），
則h′（x）=（-2x+1）e^x+（-x²+x-1）e^x-（x²+x）=-（e^x+1）（x²+x），
令h′（x）＞0得-1＜x＜0，令h′（x）＜0得x＞0或x＜-1，
∴h（x）在x=-1處取得極小值h（-1）=-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$-m，在x=0處取得極大值h（0）=-1-m，
∵函數(shù)f（x），g（x）的圖象有三個交點，即函數(shù)h（x）有3個不同的零點，
∴$\left\{\begin{array}{l}{h（-1）＜0}\\{h（0）＞0}\end{array}\right.$即 $\left\{\begin{array}{l}{-\frac{3}{e}-\frac{1}{6}-m＜0}\\{-1-m＞0}\end{array}\right.$，
解得：-$\frac{3}{e}$-$\frac{1}{6}$＜m＜-1．

點評 本題考查導(dǎo)數(shù)的運用：求切線方程和求單調(diào)區(qū)間、極值和最值，考查構(gòu)造函數(shù)，運用導(dǎo)數(shù)求極值，考慮極值的正負(fù)來判斷函數(shù)的零點，屬于中檔題．