Question

如圖所示，已知在四面體ABCD中，AB⊥BD，△ABC與△BCD是兩個全等的等腰直角三角形，AB=BC=CD．
（1）求證：平面ABC⊥平面ACD；
（2）求直線AD與平面ABC所成的角的余弦值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）由△ABC是等腰直角三角形，推導(dǎo)出AB⊥CD，由△BCD是等腰直角三角形，推導(dǎo)出CD⊥BC，由此能證明面ABC⊥面ACD．
（2）由CD⊥面ABC，推導(dǎo)出∠DAC為直線AD與平面ABC所成的角，由此能求出直線AD與平面ABC所成角的余弦值．

解答： 證明：（1）∵△ABC是等腰直角三角形，AB=BC，
∴AB⊥BC …（1分）
又∵AB⊥BD  BC∩BD=B，BC?面BCD，BD?面BCD，…（2分）
∴AB⊥面BCD …（3分）
又∵CD?面BCD
∴AB⊥CD…（4分）
又∵△BCD是等腰直角三角形，BC=CD，
∴CD⊥BC，…（5分）
又∵AB∩BC=B，AB?面ABC，BC?面ABC，
∴CD⊥面ABC，…（7分）
又∵CD?面ACD，
∴面ABC⊥面ACD．…（8分）
（2）∵CD⊥面ABC，
∴AC為直線AD在平面ABC內(nèi)的射影，
∴∠DAC為直線AD與平面ABC所成的角，…（10分）
設(shè)AB=BC=CD=a，則AC=BD=

2

a，AD=

3

a，
∴在Rt△ACD中，cos∠DAC=

AC

AD

=

6

3

．…（11分）
∴直線AD與平面ABC所成角的余弦值為

6

3

．…（12分）

點評：本題考查平面與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的余弦值的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．