Question

如圖，在三棱錐P-ABC中，PA⊥底面ABC，PA=AB，∠ABC=60°，∠BCA=90°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAC；
（Ⅱ）當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的大��；
（Ⅲ）是否存在點E使得二面角A-DE-P為直二面角？并說明理由．

Answer 1

考點：與二面角有關的立體幾何綜合題,直線與平面垂直的判定

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）由題設條件推導出PA⊥BC，AC⊥BC，由此能夠證明BC⊥平面PAC．
（Ⅱ）由已知條件推導出∠DAE是AD與平面PAC所成的角，由此能求出AD與平面PAC所成的角的大�。�
（Ⅲ）由已知條件推導出∠AEP為二面角A-DE-P的平面角，由此能推導出存在點E使得二面角A-DE-P是直二面角．

解答： 解：（Ⅰ）∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥BC．
又∵∠BCA=90°，∴AC⊥BC．
∵PA∩AC=A，∴BC⊥平面PAC．…（4分）
（Ⅱ）∵D為PB的中點，DE∥BC，
∴DE=

1

2

BC，
又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，
∴DE⊥平面PAC，垂足為點E．
∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，…（6分）
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AB，又PA=AB，
∴△ABP為等腰直角三角形，∴AD=

1

2

AB，
∴在Rt△ABC中，∠ABC=60°，∴BC=

1

2

AB．
∴在Rt△ADE中，sin∠DAE=

DE

AD

=

BC

2AD

=

2

4

，
∴AD與平面PAC所成的角的大小arcsin

2

4

．…（8分）
（Ⅲ）∵DE∥BC，又由（Ⅰ）知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，
又∵AE?平面PAC，PE?平面PAC，
∴DE⊥AE，DE⊥PE，
∴∠AEP為二面角A-DE-P的平面角，…（10分）
∵PA⊥底面ABC，∴PA⊥AC，∴∠PAC=90°．
∴在棱PC上存在一點E，
使得AE⊥PC，這時∠AEP=90°，
故存在點E使得二面角A-DE-P是直二面角．…（12分）

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查直線與平面所成角的大小的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．