Question

已知函數(shù)f(x)=lnx-

a

x

（1）若a＞0，試判斷f（x）在定義域內的單調性；
（2）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

考點：導數(shù)在最大值、最小值問題中的應用,函數(shù)恒成立問題

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）若a＞0，求函數(shù)的導數(shù)，即可判斷f（x）在定義域內的單調性；
（2）將不等式f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，進行參數(shù)分離，即可求a的取值范圍．

解答： 解：（1）∵函數(shù)f(x)=lnx-

a

x

，
∴函數(shù)的定義域為（0，+∞），
函數(shù)的導數(shù)f'（x）=

1

x

+

a

x2

，
當a＞0，f'（x）＞0，此時函數(shù)單調遞增．
（2）若f（x）＜x²在（1，+∞）上恒成立，
即lnx-

a

x

＜x²在（1，+∞）上恒成立，
即a＞xlnx-x³，
令g（x）=xlnx-x³，只要求得g（x）的最大值即可，
g′（x）=lnx+1-3x²，g″（x）=

1-6x2

x

，
∵x＞1，∴1-6x²＜0，
∴g″（x）=

1-6x2

x

＜0，
即g′（x）在（1，+∞）上單調遞減，
∴g'（x）_max=g'（1）=-3＜0，
∴g（x）在（1，+∞）上單調遞減，
∴g（x）的最大值為g（1）=-1，
∴要使a＞xlnx-x³恒成立，即a≥-1．
即a的取值范圍是a≥-1．

點評：本題主要考查函數(shù)單調性和最值的問題，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的關系是解決本題的關鍵，將不等式恒成立問題進行轉化，利用導數(shù)求函數(shù)的最值即可．